Kompakt impliziert separabel

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27.04.2009, 14:10

Dunkit

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Kompakt impliziert separabel

Hallo zusammen,
habe eine (wie ich glaube) nicht ganz einfache Aussage aus der Funktionalanalysis:

Zitat:

Jede kompakte Teilmenge K eines metrischen Raumes ist separabel

Da es vielleicht nicht ganz so geläufig ist

Zitat:

wikipedia
Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

So, ich hatte mir folgenden Ansatz überlegt:
Aus jeder offenen Überdeckung von K kann ich ja eine endliche Auswählen. Seien $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ die Mengen in dieser Überdeckung. Dann wählt man aus jedem dieser $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ einen Punkt aus und zeigt dann, dass die Menge dieser Punkte in K dicht liegt.
Ich denke so ähnlich müsste der Beweis im Groben laufen, aber ich weiß noch nicht, wie ich die Dichtheit dieser Punktmenge zeigen kann - Ideen?!

Gruß,
Fabian

27.04.2009, 14:56

system-agent

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Ich habe mir zwar keine Gedanken gemacht wie man das beweisen kann, aber ich will dich noch auf was hinweisen:
Separabel bedeutet, dass es eine abzählbare Teilmenge gibt, die dicht in deinem Raum liegt. Das bedeutet nicht, dass es bloss endlich viele offene Mengen gibt etc etc.
Die Menge, die in deinem Raum dicht sein soll, muss abzählbar sein, das heisst sie darf nicht mehr als abzählbar viele Elemente enthalten !

27.04.2009, 15:34

Dunkit

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Ja, aber durch die kompaktheit kann ich doch eine ENDLICHE Überdeckung auswählen und wenn ich dann aus jeder dieser Mengen EINEN Punkt nehme sind das doch immernoch endlich viele und damit insb. abzählbar viele?!

27.04.2009, 16:07

system-agent

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Stell dir mal die Kreislinie $\begin{eqnarray*} S^1\subset\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ vor.
Diese ist klar kompakt (Heine-Borel) und damit kann man für jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung $\begin{eqnarray*} U_1,...,U_n \end{eqnarray*}$ finden.
Nun wählst du aus jedem $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ einen Punkt aus, dann bekommst du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Punkte $\begin{eqnarray*} p_1,...,p_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ , aber diese liegen sicher nicht dicht und ausserdem: Jede der offenen Mengen enthält überabzählbar viele Punkte...

27.04.2009, 17:43

Mathespezialschüler

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Sei $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Betrachte die Überdeckung $\begin{eqnarray*} U_n:=\{B_{\frac{1}{n}}(x)\ |\ x\in X\} \end{eqnarray*}$ . Diese besitzt eine endliche Teilüberdeckung. Mach das für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und überleg dann, was du als abzählbare, dichte Teilmenge wählen kannst.

28.04.2009, 10:47

Dunkit

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Danke für die Hilfen, allerdings schaffe ich es immernoch nicht so wirklich. unglücklich

Ich nehme an, man muss die $\begin{eqnarray*} B_{1/n} \end{eqnarray*}$ irgendwie schneiden oder Vereinigen und an die Abzählbarkeit kommt man über die Abzählbarkeit von N. Aber mit der Dichtheit komme ich dann nicht zurecht und außerdem weiß ich nicht, wie ich die B Vereinigen / Schneiden soll.

28.04.2009, 12:24

tmo

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Schau mal:

Die $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ 's beschreiben ja eine Menge von Epsilonbällen, die X überdecken und wenn man die endliche Teilüberdeckung davon nimmt, sogar endlich viele Epsilonbälle, die X überdecken.

Und da das für alle n's gilt, ist es egal, wie beliebig klein man die Bälle wählt, es reichen trotzdem endlich viele davon um X zu überdecken. Und genau das machst du dir zu Nutze um eine dichte abzählbare Teilmenge zu konstruieren:

Wenn man irgendein Punkt x aus X wählt und dazu eine beliebige Epsilonumgebung wählt, so ist ja zu zeigen, dass die Epsilonumgebung einen Punkt aus der gesuchten Teilmenge enthält.

Nun wähle n so, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt. x ist ja nun in irgendeinem Ball der endlichen Teilüberdeckung von $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ drin. Andersrum ist der Mittelpunkt genau dieses Balles in dem Ball der selben Größe um x drin.

Kommt dir nun die Idee?

25.03.2021, 14:26

aedolfi

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Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subset X \end{eqnarray*}$ eines metrischen Raumes ist kompakt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ folgenkompakt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ präkompakt und abgeschlossen. Das ist kein schwierige Beweis und kann in jedem Funktionalanalysisbuch nachgeschlagen werden.

Präkompakt ist definiert als $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ existieren endlich viele $\begin{eqnarray*} x_i \in M \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} M\subset \cup B_\epsilon (x_i) \end{eqnarray*}$ . Wir nennen die Menge solcher $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U_\epsilon \end{eqnarray*}$ und definieren weiter $\begin{eqnarray*} D= \cup_{n\in \mathbb{N}} U_{1/n} \end{eqnarray*}$ dann liegt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ was auch nichtmehr schwer zu zeigen ist dicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Es reicht also präkompakt für seperabel und damit insbesondere auch kompakt.

Kein schwieriger Beweis aber überraschender Weise wirklich nicht immer in Funktionalysis Büchern zu finden.

Daraus folgt dann übrigens auch Arzelà-Ascoli für $\begin{eqnarray*} C(K) \end{eqnarray*}$ die Menge aller stetigen Funktionen auf einer Kompakten Menge $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ausgestattet mit der Supremumsnorm.

Hoffe das hilft.

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