Kummersche Konvergenzkriterium

27.04.2009, 23:36	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Kummersche Konvergenzkriterium Hallo an alle, mein Skript gibt das Kummersche Konvergenzkriterium wie folgt an: Es sei $\begin{eqnarray} \{c_k\}_{k=1}^\infty \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Folge positiver Zahlen, so daß die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{c_k} \end{eqnarray}$ divergiert. Für positive Zahlen $\begin{eqnarray} a_n>0 \end{eqnarray}$ setzen wir $\begin{eqnarray} K_{n}:=c_{n}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-c_{n+1},\quad n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Gilt $\begin{eqnarray} K_{n}\geq \delta \end{eqnarray}$ für geeignetes $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} n>n_0 \end{eqnarray}$ , dann konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~a_k \end{eqnarray}$ . Ist hingegen $\begin{eqnarray} K_{n}\leq \delta \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n>n_0 \end{eqnarray}$ , so divergiert diese Reihe. Nun frage ich mich, ob das stimmen kann. Ich bekomme nämlich das Raabesche Konvergenzkriterium, welches wie folgt lautet: Es sei $\begin{eqnarray} a_n >0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , und wir setzen $\begin{eqnarray} R_n:=n\Big(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\Big),\quad n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Gilt $\begin{eqnarray} R_{n}\geq r \end{eqnarray}$ für geeignetes $\begin{eqnarray} r>1 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} n>n_0 \end{eqnarray}$ , dann konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~a_k \end{eqnarray}$ . Ist hingegen $\begin{eqnarray} R_{n}\leq 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n>n_0 \end{eqnarray}$ , so divergiert diese Reihe. nicht als Spezialfall des Kummerschen Konvergenzkriterium hergeleitet. Zudem habe ich die Literatur unseres Professors hier liegen und beide Konvergenzkriterien scheinen dort etwas anders zu sein. Raabesche Konvergenzkriterium: $\begin{eqnarray} R_n:=n\Big(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\Big),\quad n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} R_n:=n\Big(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\Big),\quad n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Kummersche Konvergenzkriterium: Es sei $\begin{eqnarray} \{c_k\}_{k=1}^\infty \end{eqnarray}$ eine beliebige Folge positiver Zahlen, so daß die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{c_k} \end{eqnarray}$ divergiert. statt Es sei $\begin{eqnarray} \{c_k\}_{k=1}^\infty \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Folge positiver Zahlen, so daß die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{c_k} \end{eqnarray}$ divergiert. Gruß
28.04.2009, 09:33	Frank Xerox	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kummersche Konvergenzkriterium Zum Kummerschen Kgz-Krit.: Die Folge $\begin{eqnarray} \left( c_k \right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ muss - wie Du richtig erkannt hast - nicht notwending monoton fallend sein. Gilt nun: $\begin{eqnarray} c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}\leq 0 \ \mbox{für alle} \ n>n_0, \end{eqnarray}$ so divergiert $\begin{eqnarray} \sum a_n. \end{eqnarray}$ Zum Kgz.-Krit. von Raabe: $\begin{eqnarray} R_n:=n\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right) \end{eqnarray}$ macht natürlich keinen Sinn. Die Folge muss auch den Laufindex n haben, wie Du selber gesehen hast. Dann ist ja eigentlich alles klar - oder?
28.04.2009, 18:21	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir. Damit lässt sich nun auch das Raabesche Konvergenzkriterium Recht einfach als Spezialfall des Kummerschen Konvergenzkriteriums herleiten. Gruß

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