Allg: Lösungen einer Differentialgleichung

14.09.2006, 09:43

Steve_FL

Allg: Lösungen einer Differentialgleichung

hallo

So kurz vor den Prüfungen (am Montag schreib ich Analysis) ist mir noch etwas aufgefallen, als ich meine Notizen durchlas, was ich mir bis jetzt noch nicht erklären konnte.

Wenn man eine homogene Differentialgleichung hat und diese mit dem Ansatz
$\begin{eqnarray*} e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$ löst, dann gibts es ja im optimalen Fall, genau n reelle Nullstellen im charakteristischen Polynom, für eine Diffgleichung der folgenden Form:
$\begin{eqnarray*} y^{(n)} + a_{n-1} \cdot y^{(n-1)} + \ldots + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = 0 \end{eqnarray*}$

Dann hab ich mir aufgeschrieben, man muss zwei Fälle unterscheiden:
1. falls komplexe Nullstellen vorkommen
2. falls mehrfache Nullstellen vorkommen

Wenn man nun diese Lambda hat, gibts es ja n Funktionen im Vektorraum der Lösungsmenge. Die sind im optimalfall genau $\begin{eqnarray*} \large y_k = e^{\lambda_k \cdot x} \end{eqnarray*}$ .

Für die zwei Sonderfälle sieht das (laut meinen Notizen) so aus. Im ersten Fall:
$\begin{eqnarray*} \lambda = u + v \cdot i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{k_1} = e^{u \cdot x} \cdot \cos(v \cdot x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{k_2} = e^{u \cdot x} \cdot \sin(v \cdot x) \end{eqnarray*}$

Bis jetzt ist noch alles klar. Jetzt aber im zweiten Fall, heissts bei mir einfach, falls ein Lamda mehrfach vorkommt (egal ob reell oder komplex) sei die Lösung einer m-fachen Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ folgende:
$\begin{eqnarray*} y_m = e^{\lambda_0 \cdot x} + x \cdot e^{\lambda_0 \cdot x} + \ldots + x^{m-1} \cdot e^{\lambda_0 \cdot x} \end{eqnarray*}$

schön und gut, aber ist das bei komplexen Nullstellen auch so?
Ich meine, wenn jetzt diese Nullstelle komplex ist und m-fach, muss doch auch das konjugiert komplexe m-fach sein. Muss man hier die Lösung auch so modifizieren wie im ersten Fall? Also so:
$\begin{eqnarray*} y_{m_1} = (e^{u \cdot x} + x \cdot e^{u \cdot x} + \ldots + x^{m-1} \cdot e^{u \cdot x}) \cdot \cos(v \cdot x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{m_2} = (e^{u \cdot x} + x \cdot e^{u \cdot x} + \ldots + x^{m-1} \cdot e^{u \cdot x}) \cdot \sin(v \cdot x) \end{eqnarray*}$

Wie geht das nun und vor allem wieso? Ich hab mir dazu nichts aufgeschrieben und im Skript steht auch nichts und ich bin ziemlich sicher, dass er in der Vorlesung nicht gesagt hat.
Ich kann mir zwar nicht vorstellen, dass an der Prüfung so eine Diff'gleichung drankommt, aber es interessiert mich grad.

Wäre froh, wenn mir das jemand erklären könnte

gruss

€dit:
*Latex verbessert
und noch ne Latex-Frage (nebenbei):
wie kann ich die Latexzeichen vergrössern? Ich hab den Befehl \large und \Large verwendet, hat aber nichts verändert. wie sieht das aus? Augenzwinkern

14.09.2006, 12:26

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Zitat:

Original von Steve_FL
Muss man hier die Lösung auch so modifizieren wie im ersten Fall? Also so:
$\begin{eqnarray*} y_{m_1} = (e^{u \cdot x} + x \cdot e^{u \cdot x} + \ldots + x^{m-1} \cdot e^{u \cdot x}) \cdot \cos(v \cdot x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{m_2} = (e^{u \cdot x} + x \cdot e^{u \cdot x} + \ldots + x^{m-1} \cdot e^{u \cdot x}) \cdot \sin(v \cdot x) \end{eqnarray*}$

Ja, genauso.

Zu den komplexen Nullstellen: Das muss man sich bei ein wenig Kenntnis der komplexen Zahlen eigentlich nicht extra merken, denn die Gesamtheit der Linearkombinationen der stets konjugiert auftretenden komplexen Lösungen $\begin{eqnarray*} e^{(u+vi)x}=e^{ux}(\cos(vx)+i\cdot \sin(vx)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{(u-vi)x}=e^{ux}(\cos(vx)-i\cdot \sin(vx)) \end{eqnarray*}$ entsprechen den Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} e^{ux}\cos(vx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{ux}\sin(vx) \end{eqnarray*}$ .

Zu den mehrfachen Nullstellen: Da schau mal auf den Spezialfall der mehrfachen Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ :

Bei Vielfachheit $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ dieser Nullstelle ist die zugehörige DGL

$\begin{eqnarray*} y^{(n)} + a_{n-1} \cdot y^{(n-1)} + \ldots + a_m \cdot y^{(m)} = 0\qquad (*) \end{eqnarray*}$

d.h., es ist $\begin{eqnarray*} a_{m-1} = \cdots = a_1 = a_0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Dass für diese DGL die Funktionen $\begin{eqnarray*} y=x^k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,m-1 \end{eqnarray*}$ Lösungen sind, ist wohl nicht schwer zu sehen.

Für andere $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -fache Nullstellen $\begin{eqnarray*} \lambda\neq 0 \end{eqnarray*}$ kann man die DGL durch die Transformation $\begin{eqnarray*} z=e^{-\lambda x}y \end{eqnarray*}$ in eben jene Form (*) überführen, natürlich dann mit $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Zum LaTeX-Problem - suchst du sowas: $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\huge \begin{eqnarray*}E=mc^2 \end{eqnarray*}$ smile

14.09.2006, 12:50

Frooke

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Alternativ gehts auch mit

$\begin{eqnarray*} \text{\Huge{$\zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s},\quad\Re(s)>1$}} \end{eqnarray*}$

14.09.2006, 13:33

Steve_FL

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ja, so etwas suche ich eigentlich smile

@Arthur: danke. Das ist schon besser verständlich smile

Ich dachte mir ja schon, dass die Lösung sonst etwas "komisch" wäre, wenn man das nicht so handhaben würde smile

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