Abbildungen, Kompositionen und deren Verknüpfungen

28.04.2009, 13:24

sergej88

Abbildungen, Kompositionen und deren Verknüpfungen

Hallo.

Habe vor 2 Wochen mein Studium begonnen.
Bisher läuft es eigentlich ganz gut, jedoch habe ich dennoch einige Fragen zu meinen Übungsaufgaben. Man muss ja nicht gleich zu beginn den Anschluss durch fahrlässigkeit schon verlieren.

Also:

f: X-->Y A<X B<Y
Dabei bedeutet < : ist Teilmenge von.

Zeige:
a) A < f^(-1)( f(A) )
b) f( f^(-1)(B) ) < B

Also wieso das so ist, ist mir im Grunde auch klar.
Habe auch 2 Lösungsansätze welche ich zu beginn vorstellen möchte:

Zum ersten möchte ich diesen Sachverhalt durch Inklusion beweisen:
a) $\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow f^-1 * f (A) = { x \in X | f(x) \in f(A) } \Rightarrow f(A) < f(x) \Rightarrow f(A) \in f(x) ??? \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$

Bei diesem Vorgehen bin ich weder 100% sicher , dass es math. Korrekt gefolgert ist, noch ob es auch richtig ausgedrückt ist.
Für Verbesserungen wäre ich dankbar. smile

Andere Möglichkeit war von mir das durch Kontraposition zu lösen:
Dh.: Die Eigenschaften der einen Menge implizieren die Eigenschaften der Anderen bei Teilmengen.
x € A => f(x) € f(A)
Kontrap.:
f(x) nicht€ f(A) => x nicht€ A
= f(x) nich € {f(x) | x € A} => f(x) nicht€ f(x) wenn x nicht€ A => x nciht€ A

Analog dazu den Aufgabenteil b) gelöst...

So habe noch 2 weitere Schwierigkeiten, beschränke mich erstmal jedoch auf das, was mit dem bisherigen in Verbindung steht...

S,T < X ; U,V < Y
f: X --> Y

f(S u T) = f(S) u f(T)
f(S n T) = f(S) n f(T)
f(S \ T) = f(S) \ f(T)

dieses soll ich überprüfen, sowie für die Umkehrfunktionen.
Dabei habe ich jedoch meine Probleme.
Wenn ich es in Mengenschreibweisen mache, komme ich immer auf eine Gleichheit, was nicht sein kann???
f(S u T) = f(S) u f(T)
{f(x) | x € S oder x € T} = {f(x) | x € S} oder {f(x) | x € T}
= {f(x) | x € S oder x € T}
Das kann nicht richtig sein, aber wie könnte man es in diesem Verfahren dann lösen ?

Durch zeigen der Inklusionen:
f(S\T) = f(S)\f(T)
= > Sei y € f(S\T) = > existiert x € (S\T): y = f(x)
= > (existiert x € S und existiert x nicht€ T) : y = f(x)
= > y = f(existiert x € S) und y = f(existiert x ncith€ T)
= > y € f(S) und y nicht€ f(T)
= > y € ( f(S) \ f(T) )

Wäre auch nett wenn mir für die letzte Aufgabe jemand vorab sagen kann, was richtig ist was nicht. Damit ich, wenn ich es selber noch versuche, kontrollieren kann.
Also welche der "=" für die Abbildungen gelten...

Danke schonmal vorab für die Hilfe smile

MfG,

28.04.2009, 20:32

Mathespezialschüler

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Herzlich Willkommen hier im Board!
Es ist sicher nicht auf Anhieb so einfach, allerdings würde ich dir raten, so viel wie möglich mit Latex zu schreiben. Ich persönlich habe z.B. keine Lust, mich durch das ganze unübersichtliche Text-Formel-Gewühle zu kämpfen und ich könnte mir vorstellen, dass es vielen ähnlich geht. Im Formeleditor findest du einige Befehle, ansonsten auch einfach per Google oder Wikipedia o.Ä..

28.04.2009, 20:40

sergej88

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Danke.

hier nochmal in latex... den letzten grösseren abschnitt.
mit diesem beschäftige ich mich gerade noch..

$\begin{eqnarray*} f(S / T) = f(S) / f(T) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Sei y \in f(S / T) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists x \in (S / T): y = f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\exists x \in S und \exists x nicht/in T) : y = f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y = f(\exists x \in S) und y = f(\exists x ncith\in T) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y \in f(S) und y nicht\in f(T) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y \in ( f(S) / f(T) ) \end{eqnarray*}$

Das / entspricht dem \ als Differenz von 2 Mengen...

ich glaube ich muss mich noch ein wenig in latex einarbeiten

28.04.2009, 21:10

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von sergej88
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\exists x \in S und \exists x nicht/in T) : y = f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y = f(\exists x \in S) und y = f(\exists x ncith\in T) \end{eqnarray*}$

Das ist so falsch. Es existieren nicht zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , deshalb darfst du auch nicht zweimal $\begin{eqnarray*} \exists x \end{eqnarray*}$ hinschreiben. Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists\ x\ : \ x\in S\text{ und }x\notin T\text{ mit }y=f(x) \end{eqnarray*}$ .

Es wird dann auch inhaltlich falsch, das muss es sogar werden, da die Aussage falsch ist und du sie nicht beweisen können wirst.

PS: $\begin{eqnarray*} \setminus \end{eqnarray*}$ geht mit "\setminus", $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ mit "\notin".

28.04.2009, 21:30

sergej88

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danke.
diesen beweis sehe ich auch ein, dass es nicht gehen kann.

habe es durch ein gegenbeispiel wiederlegt...

was mir nun noch erstmal zu klären bleibt ist:

A Teilmenge von $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ zeigen:

$\begin{eqnarray*} \{x | x \in A \} Teilmenge \{x | f(x) \in f(A)\}\\ = \{x| \{f(x) | x \in X\} \in \{f(x)| x \in A\}\}\\ = \{x | x \in X und x \in A\} \end{eqnarray*}$

28.04.2009, 21:55

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von sergej88
$\begin{eqnarray*} \{x| \{f(x) | x \in X\} \in \{f(x)| x \in A\}\} \end{eqnarray*}$

Was soll denn diese Schreibweise bedeuten? Wer soll Element von wem sein?

Fixiere dich nicht zu sehr auf solche formalen Schreibweisen. Man darf (und sollte auch) mathematische Beweise durchaus teilweise in Worten formulieren.

Du musst zeigen: $\begin{eqnarray*} x\in A\Rightarrow x\in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ . Und das ist einfach klar wegen der Definition der Menge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ , die du ja schon hingeschrieben ist.

PS: $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ mit "\subset", $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ mit "\subseteq".

29.04.2009, 14:38

sergej88

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Danke danke. habe diese Aufgaben nun auch alle gelöst..

Was mich jedoch nun zum Schluss zum nachdenken bringt ist folgendes:

Seien f: X -> Y, g: Y -> X Abb. mit:
(g Kringel f)(x) = x
Für alle x.
Zeige , dass g surj. und f injektiv ist.

Das f inj. ist habe ich folgendermassen gelöst:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x') \rightarrow g(f(x)) = g(f(x')) \rightarrow (g \dot f)(x) = (g \dot f)(x') \rightarrow idX = idX' \rightarrow x = x' \end{eqnarray*}$

Hierbei bin ich noch unsicher wegen dem idX...

und g surj.
$\begin{eqnarray*} \forall x \in X \exists y \in Y : g(y) = x \rightarrow \forall x \in X \exists y \in f(x) : g(y) = x \rightarrow \forall f(x) \exists x \ in X : f(x) = y \rightarrow \forall y \in f(x) : g(y) \neq \emptyset \rightarrow g surjektiv ?? \end{eqnarray*}$

hierbei bin ich mir sicher, dass ich fehler gemacht habe.

habe deshalb diesen Ansatzt nun verwendet...

$\begin{eqnarray*} \forall x \in X \exists f(x) \subseteq Y : g(f(x)) = x \rightarrow \forall x \in X \exists y \in Y : g(y) = x \rightarrow g surjetiv. \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich mir gedacht, dass im ersten Schritt ja die gegebene Aussage gkringelf = idX ja schon sagt, dass für jedes x was rauskommt (idX), ein f(x) existiert.
Wegen f injektiv: sind alle y in g verschieden, sofern x \neq x' ist...
Da x für alle werte gilt, müssen auch in g alle y existieren bzw alle f(x) in diesem fall.
Jedoch fehlen mir noch dafür präzise formulierungen.

Für korrekturen oder hilfen bin ich dankbar.
ich mache mal weiter.
mfg.

29.04.2009, 21:26

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von sergej88
$\begin{eqnarray*} \rightarrow idX = idX' \end{eqnarray*}$
[...]
Hierbei bin ich noch unsicher wegen dem idX...

Das ist tatsächlich syntaktisch falsch, was dort steht. Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \operatorname{id}_X(x)=\operatorname{id}_X(x') \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von sergej88
hierbei bin ich mir sicher, dass ich fehler gemacht habe.

[...]

habe deshalb diesen Ansatzt nun verwendet...

$\begin{eqnarray*} \forall x \in X \exists f(x) \subseteq Y : g(f(x)) = x \rightarrow \forall x \in X \exists y \in Y : g(y) = x \rightarrow g surjetiv. \end{eqnarray*}$

Das erste war tatsächlich falsch. Ich hab da auch nicht durchgesehen. Das zweite ist der richtige Ansatz.

Zitat:

Original von sergej88
Dabei habe ich mir gedacht, dass im ersten Schritt ja die gegebene Aussage gkringelf = idX ja schon sagt, dass für jedes x was rauskommt (idX), ein f(x) existiert.
Wegen f injektiv: sind alle y in g verschieden, sofern x \neq x' ist...
Da x für alle werte gilt, müssen auch in g alle y existieren bzw alle f(x) in diesem fall.
Jedoch fehlen mir noch dafür präzise formulierungen.

Was du mir hier sagen willst, verstehe ich nicht.

Mach es dir doch einfacher, beschränke dich auf das Wesentliche und hänge dich nicht an allen möglichen Formelzeichen auf.

Zu Zeigen: Für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(y)=x \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ beliebig. Definiere dann $\begin{eqnarray*} y:=f(x) \end{eqnarray*}$ . Dies liegt in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und es gilt nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} g(y)=g(f(x))=x \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ surjektiv.

29.04.2009, 21:55

sergej88

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ beliebig. Definiere dann $\begin{eqnarray*} y:=f(x) \end{eqnarray*}$ . Dies liegt in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und es gilt nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} g(y)=g(f(x))=x \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Danke..
So habe ich es mir auch gedacht, aber es für zu simpel gehalten.

Bin aber von allein auf die Erklärung gekommen...

Wenn g(y) = x für alle x ein y existieren soll.
Mit f inj. alle x aus X auf Y abgebildet wurden, so dass gilt: g(f(x)) = x...
Dann bleiben da evt. noch einige y aus Y welche mit g auf X abgebildet werden sollen.
Das hiesse jedoch, da zum einen alle x schon abgebildet wurden -> surjektivität von g
aber auch noch, dass manche y aus Y mehrere x aus X bekommen...

Aber danke, ich glaube ich lerne langsam dazu .. smile

29.04.2009, 22:09

Mathespezialschüler

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Ich verstehe leider nicht, was du damit sagen willst, das klingt sehr konfus. Der letzte Satz, dass ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mehrere Urbilder haben kann, ist aber tatsächlich richtig.

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