Suche Funktion mit oberer und unterer Schranke / Grenzwert

14.09.2006, 11:23

kurellajunior

Suche Funktion mit oberer und unterer Schranke / Grenzwert

Hi ihr,

Ich suche eine funktion, von der ich nur den Graphen vor dem geistigen Auge habe. Folgende Eigenschafte weiß ich:

Sie beginnt im Ursprung (Oder halt fast im ursprung, das ist nicht so wichtig Augenzwinkern

)

Sie beginnt ungefähr im Ursprung
im ungefähren Ursprung ist der Anstieg 0 oder zumindest sehr klein
ca. beim Funktionswert 0,5 ist der Anstieg Maximal (Wendepunkt)
für $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=1 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Weiß jemand, was ich meine?

Jan

14.09.2006, 11:29

klarsoweit

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RE: Suche Funktion mit oberer und unterer Schranke / Grenzwert
Hmm. Meinst du sowas:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

14.09.2006, 11:40

kurellajunior

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RE: Suche Funktion mit oberer und unterer Schranke / Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit
Hmm. Meinst du sowas:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

mal probieren:

öhm nicht ganz, aber schon ein guter Anfang.
Mir schwebt da sowas aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Ich komm nur nicht drauf *grummel*.

Ich sollte noch hinzufügen, dass die Funktion (fast) Spiegelsymmetrisch zum Wendepunkt sein sollte. aber die geht auch schonmal *denk*

14.09.2006, 12:37

kurellajunior

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Ich kann noch den Gedankengang nachvollziehen:

Zu Anfang stieg die Wahrscheinlichkeit nur langsam an, dann immer schneller. Wenn sie einen bestimmten Wert erreicht hatte (zB: 50%), fiel das Tempo wieder und sie näherte sich ewig und drei Tage der 1.

Das war so meine Erinnerung eine recht einfache und häufige Funktion, nur komm ich nicht drauf. Hammer

14.09.2006, 12:45

Frooke

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Ich denke, dass Du an die logistische Funktion denkst, also an sowas:

14.09.2006, 15:01

kurellajunior

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$\begin{eqnarray*} M(p)=\frac{G}{1+\left(\frac{G}{M(0)}-1\right)e^{-kGp}} \end{eqnarray*}$

G=80% (0,8)
k=1/10000=0,0001
f(0)=0,2%=0,002

Jo, das sieht gut aus, Danke Dir.

Hätte nicht gedacht, dass die so kompliziert war verwirrt

Danke, Jan

14.09.2006, 15:05

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Da hast du dann aber das hier

Zitat:

Original von kurellajunior
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=1 \end{eqnarray*}$

fallengelassen, denn für deine letzte Funktion gilt ja wohl $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=G=0.8 \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

14.09.2006, 15:14

kurellajunior

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Da hast du dann aber das hier

Zitat:

Original von kurellajunior
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=1 \end{eqnarray*}$

fallengelassen, denn für deine letzte Funktion gilt ja wohl $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=G=0.8 \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

Gar nicht :P Ich habe ja nur die Grundfunktion gesucht. mit 0.8 Plutimizieren kann ich ja auch selber

Lehrer

Grüße und Danke

14.09.2006, 15:24

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Falls du noch eine einfachere (?) Schreibweise für deine logistische Funktion suchst:

und dann noch in x-Richtung strecken und verschieben. Mathematisch natürlich völlig äquivalent. Augenzwinkern

14.09.2006, 15:35

kurellajunior

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Mathematisch natürlich völlig äquivalent. Augenzwinkern

Echt? Dann muss ich wohl annehmen, dass diese Nur für Computer wirklich "einfacher" ist, was? Aber auf jeden Fall ist sie kürzer.

14.09.2006, 15:53

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Kannst ja

$\begin{eqnarray*} \frac{1+\tanh(ap+b)}{2} \stackrel{?}{=} \frac{1}{1+\left(\frac{G}{M(0)}-1\right)e^{-kGp}} \end{eqnarray*}$

gemäß $\begin{eqnarray*} \tanh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}} \end{eqnarray*}$ äquivalent umformen, da landest du am Ende beim Koeffizientenvergleich

$\begin{eqnarray*} a &=& \frac{kG}{2}\\ b &=& -\frac{1}{2}\ln\left(\frac{G}{M(0)}-1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist dann die Streckung und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Verschiebung, von denen ich oben sprach.

14.09.2006, 16:07

kurellajunior

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Wieder ein Stück schlauer...

Aber nachrechnen werde ich das jetzt nicht Augenzwinkern

Aber danke dafür.

Jan

14.09.2006, 17:14

kurellajunior

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hmm, ich stelle fest, dass diese funktin nicht ausreichend parametriesierbar ist.

Ich kann die Stärke der Kurven nicht beeinflussen.

Ich brauche eine andere Kurve. Ähnliches Verhalten, aber mit einem weiteren Parameter, der es mir ermöglicht im einen Extrem eine Gerade zu erhalten und im anderen eine REchteckkurve erzeugt. (Beides natürlich im Zweifel nur fast)

Geht das überhaupt?

14.09.2006, 17:23

Lazarus

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wie Rechtskurve?
sowas :

Für die Gerade musst du nur schauen das dein Argument > 2 ist.

Natürlich ist die Gerade nicht ganz gerade:

15.09.2006, 09:42

kurellajunior

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hmm, wo ist der Parameter? des versteh ich nicht...

Und mit Gerade meinte ich keine Konstante, sondern eine lineare Funktion.

Mit dem Parameter soll sich die Funktion um einen festen Punkt "drehen" und die Kurven werden flacher oder stärker (im extrem halt eine gerade oder eine rechtwinklige Ecke)

Jan

15.09.2006, 09:54

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Vielleicht "malst" du deine Vorstellungen mal auf und stellst sie hier rein? Aus den Beschreibungen allein werde ich nämlich nicht so recht schlau und schätze mal, es geht anderen ähnlich.

15.09.2006, 13:41

kurellajunior

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das ganze gedreht und gespiegelt und verschoben. und stellt euch vor die treffen sich alle in den selben zwei Punkten außerhalb des Bildes.

Es gibt drei Punkte (0|0), den oben zu sehenden Mittelpunkt und einen am Mittelpunkt gespiegelten. Hach ist das schwierig.

Vielleicht brauch ich dafür Bezierkurven? Aber dann ist das das falsche Forum, zumal ich ja wirklich eine Funktion brauche *grummel*

15.09.2006, 13:57

Frooke

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Wer sagt denn, dass Bezierkurven jeweils keine Funktionen sind?

Und woran erinert Dich denn «gedreht und gespiegelt»? Mich an Umkehrfunktionen:

Wähle doch einfach die Arkustangensfunktion, die kannst Du dann noch beliebig mit Prametern versehen:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{kurella}(x):=a\arctan\left(bx+c\right) \end{eqnarray*}$ smile

EDIT: Um das geforderte asymptotische Verhalten sicherzustellen, wähle

EDIT2: Ausserdem sehe ich im Moment gerade nicht, die Bezierkurven helfen sollen verwirrt

...

15.09.2006, 15:57

kurellajunior

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Das Problem mit dem Tangens ist, dass ich die Stärke der Krümmung nicht bestimmen kann.

Nehmen wir an ich nehme die Punkt (4|0,75) und (-4|-0,75) als Drehpunkte.
Nun will ich einen Parameter so, dass diese beiden Punkte in allen Graphen der Schar auftauchen und der Anstieg im Ursprung durch den Parameter einstellbar ist.

15.09.2006, 16:55

Frooke

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Hmmm. Da fällt mir so spontan nichts ein... Du könntest natürlich eine ähnlich aussehnde Kurve von -unendlich bis -4 und von 4 bis unendlich definieren und dann mit Splineinterpolation arbeiten... Aber ich denke nochmals darüber nach, ob es etwas einfacheres gibt...

EDIT: Ohne nun wirklich viel dazuzusteuern, aber vielleicht bringt Dich folgendes noch auf eine Idee... Mit tangens- und exponentialfreien Funktionen lässt sich möglicherweise die Parametrierung leichter vornehmen, deshalb habe ich noch an einen solchen Typus von Funktion gedacht:

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{-1+\sqrt{1+4x^2}}{2x} \end{eqnarray*}$

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