Übergangsmatrizen - Fixvektor

28.04.2009, 23:23

Westfale

Übergangsmatrizen - Fixvektor

Hallo,
Sei $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1-p & q \\ p & 1-q \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit 0 < p < 1 und 0 < q < 1 eine beliebige stochastische Matrix. Ermitteln Sie für A denjenigen Fixvektor, dessen Koordinaten die Summe 1 haben.

Ok, Ansatz ist A * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Also:
I. (1-p)x1 + qx2 = x1
II. px1 + (1-q)x2 = x2
Desweiteren gilt noch III. x1 + x2 = 1

Komme dann auf $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{q}{p+q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{p}{p+q} \end{eqnarray*}$ Kann das stimmen?

Noch eine Aufgabe:
Weisen Sie für die Matrix A nach: Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das Produkt von $\begin{eqnarray*} A \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$ sind Vielfache voneinander.

Hab da: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-p & q \\ p & 1-q \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+p+q \\ -p+1-q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -p+1-q \\ -p+1-q \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Stimmt das und kann man das so aufschreiben?

29.04.2009, 00:18

Bjoern1982

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Zitat:

Komme dann auf $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{q}{p+q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{p}{p+q} \end{eqnarray*}$ Kann das stimmen?

Joa, scheint zu passen. Wenn man es mal in die 3 Gleichungen einsetzt kommen jedenfalls wahre Aussagen heraus Augenzwinkern

Zu der anderen Aufgabe:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-p & q \\ p & 1-q \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+p+q \\ -p+1-q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -p+1-q \\ -p+1-q \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Umformung ganz am Schluss stimmt nicht mehr, da würde ja dann eine Zahl resultieren (Skalarprodukt)

Viel mehr sollte dir auffallen, dass der Vektor in der Mitte die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat, wenn man mal -1+p+q=a setzt.

Gruß Björn

29.04.2009, 00:55

Westfale

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Ja, das wollte ich mit dem $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -p+1-q \\ -p+1-q \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ausdrücken.
Wie schreib ich das richtig auf?

29.04.2009, 00:59

Bjoern1982

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Ich habs dir ja quasi schon hingeschrieben, ziehe das a noch aus dem Vektor raus und dann steht es schon da.

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