Simplex-Algorithmus Aufgabe

14.09.2006, 12:10

brunsi

Simplex-Algorithmus Aufgabe

Aufgabe 2: LP-Modelling
Ein Wisky-Importeuer unterhält zwar einen unbegrenzten Markt für seine Ware, aber durch
Importbeschränkungen werdenseine monatlichen Einkaufsmengen folgendermaßen begrenzt:
Sir Roses höchstens 2000 Flaschen zu 35 €
Highland Wind: höchstens 2500 Flaschen zu 25 €
Old Frenzy höchstens 1200 Flaschen zu 20 €
Daraus stellt er drei Mischungen A,B und C her, die er zu 34€, 28,50€ bzw. 22,50€ pro
Flasche verhaukt. Die Zusammensetzung der Mischungen ist:
A wenigstens 60% Sir Roses
höchstens 20% Old Frenzy
B wenigstens 15% Sir Roses
höchstens 60% Old Frenzy
C höchstens 59% Old Frenzy
Wie sollten die Mischungen aussehen und wie viel sollte von jeder Mischung hergestellt
werden, um einen maximalen Gewinn zu erzielen?
a) Formulieren Sie dieses Problem als lineares Programm
b) Lösen Sie das Problem mit einem LP-Löser ihrer Wahl {fürs Tutorium machen wir
das ohne einen Solver, sondern per Zettel und Stift, kein Excel}
c) Konstruieren Sie aus der Lösung des LP’s eine möglichst optimale Lösung, die
zusätzlich berücksichtigt, dass der Wisky nur flaschenweise ge- und verkauft
werden kann.

Mein Lösungsansatz:

Variablendefinitionen:

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ :Anzahl Flaschen Sir Roses, die mtl. gekauft werden können
$\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ : Anzahl Flaschen Highland Wind, die mtl. gekauft werden können
$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ : Anzahl Flaschen Old Frenzy, die mtl. bezogen werden können

$\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ : Anzahl Flaschen der Mischung A, die verkauft werden
$\begin{eqnarray*} x_B \end{eqnarray*}$ : Anzahl Flaschen der Mischung B, die verkauft werden können
$\begin{eqnarray*} x_C \end{eqnarray*}$ : Anzahl Flaschen der Mischung C, die verkauft werden können

Um den maximalen gewinn zu erhalten gilt:

$\begin{eqnarray*} max! z= 34x_A+28,5x_b+22,5x_c-(35x_1+25x_2+20x_3) \end{eqnarray*}$

Die nebenbedingungen ergeben sich ja aus den Restriktionen beim Flaschenimport und aus der zusammensetzung der einzelnen Mischungen:

$\begin{eqnarray*} x_1\leq2000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2\leq2500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3\leq1200 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=0,5x_A+0,15x_B+0x_c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=0,2x_A+0,6x_B+0,59x_C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_A,x_B,x_C\geq 0 \end{eqnarray*}$

Sind die bedingungen soweit richtig??

P.S.: könnte mri jmd. noch einmal den Latex-Code für eine Matrix geben??

Ist eine Aufgabe für ein Tutorium, bin mir aber nicht sicher, ob das alles soweit richtig ist. vielleicht hab ich die aufgabe wieder falsch verstanden? Help Willkommen

14.09.2006, 16:53

Dual Space

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RE: Simplex-Algorithmus Aufgabe

Zitat:

Original von brunsi
P.S.: könnte mri jmd. noch einmal den Latex-Code für eine Matrix geben??

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.09.2006, 21:17

Ben Sisko

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RE: Simplex-Algorithmus Aufgabe

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} x_1=0,5x_A+0,15x_B+0x_c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=0,2x_A+0,6x_B+0,59x_C \end{eqnarray*}$

Das ist doch Unsinn. In den Bedingungen steht etwas von "wenigstens" und "höchstens", wie soll man da ein Gleichheitszeichen benutzen??

Ich würde deine komplette Variablenwahl nochmal überdenken!

Zitat:

Original von brunsi
b) Lösen Sie das Problem mit einem LP-Löser ihrer Wahl {fürs Tutorium machen wir
das ohne einen Solver, sondern per Zettel und Stift, kein Excel}

Ob das so eine gute Idee ist...?

Zitat:

Original von brunsi
vielleicht hab ich die aufgabe wieder falsch verstanden?

Verstanden hast du sie vermutlich, nur lösen kannst du sie offensichtlich nicht...

15.09.2006, 12:49

brunsi

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RE: Simplex-Algorithmus Aufgabe
es geht darum den maximalen gewinn zu errechnen, wobei die importbeschränkungen für die jeweiliegn Sorten gelten.

die zielfunktion ist doch vom ansatz her richtig??

Gewinn=Erlös-Kosten---> hab ich auch gemacht!!

wie sollte ich denn die nebenbedingungen aufstellen, weil bei mir die Mischung C so ein wenig kopfschmerzen verursacht hat, Da wird schließlich nur Old Frenzy angegeben, doch wird der rest mit wasser aufgefüllt oder mit welchem Schnaps?? es ist ja auch ncihts weiter im text erkennbar, weshalb ich schon daran scheitere.

hatte vorher ungleichungen als nebenbedingungen für die drei mischungen, aber das war mir dann doch ein wenig zu unlogisch,wegen mischung C!!

variablendefinitionen noch mal überlegen?? wieso? was stimmt denn dar nicht so ganz dran??

Müssen doch Flaschen sein, die ich einmal beziehe und zum anderend ie falschen die ich dann verkaufe.

17.09.2006, 10:14

riwe

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RE: Simplex-Algorithmus Aufgabe
variablen überdenken:
mit p11, (p12, ) p13 hast du, würde ich vermuten
$\begin{eqnarray*} x_4=p_{11}x_1+(1-p_{11}-p_{13})x_2+p_{13}x3 \end{eqnarray*}$
usw.
mit $\begin{eqnarray*} 0.6 \leq p_{11}\leq 1.0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0.0 \leq p_{11}\leq0.2 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} p_{11}+p_{13}\leq 1.0 \end{eqnarray*}$ für jede einzelne mischung
sowie
$\begin{eqnarray*} p_{11}+p_{21}+p_{31}= 1.0 \end{eqnarray*}$ ... für alle 3 gepantschten sorten
usw. oder so ähnlich verwirrt

werner

18.09.2006, 01:17

Ben Sisko

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RE: Simplex-Algorithmus Aufgabe

Zitat:

Original von wernerrin
usw. oder so ähnlich verwirrt

Ja, so ähnlich. Bist mit den Indizes etwas durcheinander gekommen Augenzwinkern

Lässt sich dann noch effizienter machen, mit weniger Variablen. Deine p reichen eigentlich, da braucht man die x nicht mehr.

Gruß vom Ben

18.09.2006, 14:16

riwe

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RE: Simplex-Algorithmus Aufgabe
mit meinen indices bin ich im großen und ganzen schon einverstanden.
(aber vielleicht sollte ich sie besser aufschlüsseln/"dokumentieren", das ist aber eigentlich der kaffe von brunsi, war ja nur als anregung gedacht)
aber wenn du die x nimmer verwendest, legst du damit nicht fest, dass man alles gebräu kauft, oder verwirrt

werner

18.09.2006, 22:01

Ben Sisko

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Besser dokumentieren ist natürlich auch nicht verkehrt Augenzwinkern

Mit den Indizes meinte ich das:

Zitat:

Original von wernerrin
$\begin{eqnarray*} 0.6 \leq p_{11}\leq 1.0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0.0 \leq p_{11}\leq0.2 \end{eqnarray*}$

Da müsste unten wohl $\begin{eqnarray*} 0.0 \leq p_{13}\leq0.2 \end{eqnarray*}$ hin oder so (sicher erst zu sagen, wenn du dokumentiert hast Augenzwinkern

Zitat:

Original von wernerrin
aber wenn du die x nimmer verwendest, legst du damit nicht fest, dass man alles gebräu kauft, oder

In deinem Modell geben p die jeweiligen Anteile im Mischungsverhältnis an und die x die Anzahl der gekauften Flaschen. Das kann man aber kombinieren.

Wenn es jemanden interessiert, kann ich übrigens noch ein Beispiel dafür posten, dass diese Teilaufgabe

Zitat:

Konstruieren Sie aus der Lösung des LP’s eine möglichst optimale Lösung, die
zusätzlich berücksichtigt, dass der Wisky nur flaschenweise ge- und verkauft
werden kann.

mathematisch gesehen Quatsch ist (jedenfalls so, wie sie hier mit ziemlicher Sicherheit gemeint ist).

Gruß vom Ben

19.09.2006, 14:15

riwe

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hallo ben,
ich gestehe den indexsalat Gott

habe ich nicht gesehen, dass ich zweimal die elf (11) verwendet habe.

werner

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