Riemannsumme - geeignete Zerlegung?

29.04.2009, 13:34

Duedi

Riemannsumme - geeignete Zerlegung?

Hi!

Möchte $\begin{eqnarray*} \int_ \varepsilon^1 \frac{\mathrm d x}{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ über Riemannsummen berechnen. Wenn das Intervall also $\begin{eqnarray*} I=[\varepsilon;\ 1] \end{eqnarray*}$ ist, die Zerlegung $\begin{eqnarray*} Z=\{x_0, x_1,\cdots x_n\} \end{eqnarray*}$ ist, wäre eine Möglichkeit:
$\begin{eqnarray*} x_k =\varepsilon^{\frac{k}{n}} \end{eqnarray*}$ . Das entwickelt sich aber dann höchst unschön. Hat jemand eine bessere Idee, wie ich $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ wählen soll?

29.04.2009, 14:16

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Was erwartest du? Dass man diese Riemannsumme dann mit einer bekannten Summenformel vereinfachen kann? Besseres als $\begin{eqnarray*} x_k =\varepsilon^{\frac{k}{n}} \end{eqnarray*}$ wirst du zu diesem Zweck kaum finden. Bei der überwiegenden Zahl anderer Ansätze wirst du nicht mal die Summe vereinfachen können.

29.04.2009, 14:19

Duedi

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Ach wie ärgerlich, das ist nämlich eine Übungsaufgabe. Unser Übungsgruppenleiter gab uns dieses potenzierte Epsilon als Hinweis, das "wahre" (also für die Rechnung einfachere) $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ sei dem sehr ähnlich.

EDIT: Wenn man die Wurzel "weglässt", ist durch die Wahl dieses $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ die Sache wunderschön zu lösen, hatte nur auf eine ähnlich elegante Möglichkeit bei diesem Integral gehofft.

29.04.2009, 15:12

Duedi

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Sry für den Doppelpost, aber: Du siehst keine Hoffnung, durch geschickte Zerlegung des Intervalls die Summe berechenbar zu machen?

29.04.2009, 15:40

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Hab ich sowas gesagt? Nein!

Zitat:

Original von Arthur Dent
Besseres als $\begin{eqnarray*} x_k =\varepsilon^{\frac{k}{n}} \end{eqnarray*}$ wirst du zu diesem Zweck kaum finden.

Damit geht es doch, wenn ich das recht überblicke!

Das läuft doch auf Partialsummen geometrischer Folgen hinaus.

29.04.2009, 15:49

Leopold

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Für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < \varepsilon < 1 \end{eqnarray*}$ bestimmen die Punkte $\begin{eqnarray*} x_k = \varepsilon^{\frac{k}{n}} \, , \ \ 0 \leq k \leq n \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung des Intervalls $\begin{eqnarray*} [\varepsilon,1] \end{eqnarray*}$ . Von rechts gezählt hat das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Teilintervall die Breite

$\begin{eqnarray*} \Delta x_k = x_{k-1} - x_k = \varepsilon^{\frac{k}{n}} \left( \varepsilon^{- \frac{1}{n}} - 1 \right) \, , \ \ 1 \leq k \leq n \end{eqnarray*}$

Für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ist dann

$\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x_k \end{eqnarray*}$

eine Obersumme. Und man kann diese explizit berechnen:

$\begin{eqnarray*} S_n = \left( 1 + \varepsilon^{- \frac{1}{2n}} \right) \left( 1 - \varepsilon^{\frac{1}{2}} \right) \end{eqnarray*}$

Wie Arthur schon angedeutet hat - Stichworte sind die Klassiker: geometrische Reihe, dritte binomische Formel, Potenzgesetze.

29.04.2009, 16:07

Duedi

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Also doch mit diesem x_k? Na dann ist ja wunderbar. Ich habe nur zu früh aufgegeben, da unser Tutor sagte, das wäre (noch) das falsche, wir müssten es nur etwas modifizieren.

29.04.2009, 16:25

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Der Tutor bezieht sich womöglich darauf, dass diese $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ in der "falschen" Reihenfolge stehen, d.h.

$\begin{eqnarray*} 1 = x_0 > x_1 > \ldots > x_n = \varepsilon \end{eqnarray*}$

Aber das lässt sich ja leicht korrigieren. Augenzwinkern

29.04.2009, 17:17

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Der Tutor bezieht sich womöglich darauf, dass diese $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ in der "falschen" Reihenfolge stehen, d.h.

$\begin{eqnarray*} 1 = x_0 > x_1 > \ldots > x_n = \varepsilon \end{eqnarray*}$

Aber das lässt sich ja leicht korrigieren. Augenzwinkern

@ Duedi

... und zwar am besten gar nicht. Wozu gibt es das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition?

Zitat:

Original von Leopold
Von rechts gezählt hat das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Teilintervall die Breite ...

29.04.2009, 20:18

Duedi

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Das soll das Problem sein? Das ist doch eine Trivialität Big Laugh

. Habe ich von Anfang schon berücksichtigt, indem ich eben das "umgekehrte" Integral berechnet habe (mit einem Minus davor). Danke euch nochmal, das krieg ich hin smile

29.04.2009, 21:07

Duedi

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Muss irgendwo noch einen Fehler drinhaben.
$\begin{eqnarray*} S_n = - \sum_{k=1}^n \varepsilon^{-\frac{k}{2n}} \cdot ( \varepsilon^\frac{k}{n} -\varepsilon^{\frac{k}{n}-\frac{1}{n}} )\\&&<br /> = - \sum_{k=1}^n \varepsilon^{\frac{k}{2n}} \cdot(1-\varepsilon^{-\frac{1}{n}})\\&&<br /> =(\varepsilon^{-\frac{1}{n}}-1)\cdot\sum_{k=1}^n\left(\varepsilon^\frac{1}{2n}\right)^k\\&&<br /> (\varepsilon^{-\frac{1}{n}}-1)\cdot\left(\frac{1-\varepsilon^\frac{1}{2}}{1-\varepsilon^\frac{1}{2n}}-1\right) \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt hier den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ bildet, um das Integral zu berechnen, bekommt man nicht $\begin{eqnarray*} (1-\sqrt\varepsilon) \end{eqnarray*}$ sondern nur $\begin{eqnarray*} -\sqrt\varepsilon \end{eqnarray*}$

EDIT: Habs, habe die geometrische Reihe falsch berechnet

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