Untersuchung der Partialsumme der geometrischen Reihe auf Konvergenz/Divergenz

29.04.2009, 17:39

Very

Untersuchung der Partialsumme der geometrischen Reihe auf Konvergenz/Divergenz

Hallo,
ich möchte untersuchen für welche q die geometrische Reihe konvergent bzw. divergent ist.

Dabei habe ich so umgeformt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} q^{k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Nun gibt es ja 3 Fälle.

Zum einen für

$\begin{eqnarray*} \mid q \mid < 1 \end{eqnarray*}$ Dabei geht $\begin{eqnarray*} q^{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen 0. Die Reihe ist also konvergent gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Für

$\begin{eqnarray*} \mid q \mid > 1 \end{eqnarray*}$ ist die Reihe divergent, da $\begin{eqnarray*} q^{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen unendlich geht.

Was aber genau passiert für
$\begin{eqnarray*} \mid q \mid = 1 \end{eqnarray*}$ ?

Da erhalte ich ja $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ . Ich habe aber gelesen, dass die Reihe bei diesem Fall divergiert. Wie kommt man darauf.

Wäre für Hilfe sehr dankbar.
Very

29.04.2009, 18:16

Frank Xerox

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RE: Untersuchung der Partialsumme der geometrischen Reihe auf Konvergenz/Divergenz
Du meintest sicher:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n q^{k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Setz doch einfach 1 bzw. (-1) für q ein und guck Dir an was dabei raus kommt.

29.04.2009, 18:19

tmo

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Für $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ gilt die Formel für die Partialsumme logischerweise gar nicht.

Für |q|=1 gilt für die Partialsummenfolge offensichtlich (ohne die Partialsumme selbst anzugeben) $\begin{eqnarray*} |s_{n+1}-s_n|=1 \end{eqnarray*}$ . Also ist es keine Cauchy-Folge --> keine Konvergenz.

29.04.2009, 18:38

Very

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@Franz Xerox: Ja, danke.. das hab ich gemeint.

Ja, ich habe das mit dem Einsetzen auch schon probiert.
Für q = 1 erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1-1^{n+1}}{1-1} =\frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Ist denn 0/0 definiert? meiner Meinung nach nicht.

Für q= -1 erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1-(-1)^{n+1}}{1-(-1)} \end{eqnarray*}$

Damit ergibt der Nenner zwei und der Zähler springt immer zwischen 1-1=0 und 1+1=2

Allerdings steht in meinem Skript, dass die Reihe für |q|=1 divergiert. Das sehe ich hier noch nicht wirklich.

@tmo: ja, man muss q=1 ausschließen, aber zu Betrag von |q|=1 gehören doch +1 und -1. Darf ich dann einfach so +1 ausschließen und trotzdem Aussagen über den Betrag machen?

29.04.2009, 18:41

tmo

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Zitat:

Original von Very
Darf ich dann einfach so +1 ausschließen und trotzdem Aussagen über den Betrag machen?

Ich habe +1 nur bzgl. der Formel $\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ für die Partialsumme ausgeschlossen.
Meine Aussage für den Fall $\begin{eqnarray*} |q|=1 \end{eqnarray*}$ erfolgte jedoch ohne die Nutzung selbiger.

29.04.2009, 18:52

Very

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Danke, Also dein zweites Argument ist mir jetzt klar. Dass also wenn $\begin{eqnarray*} |s_{n+1}-s_n|=1 \end{eqnarray*}$ gilt, die Reihe divergent ist.
Aber wie genau kommst du darauf, dass das 1 ergibt? Und muss man nicht für $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ gerade die Partialsumme einsetzen?

29.04.2009, 19:45

Frank Xerox

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Zitat:

Original von Very

Ja, ich habe das mit dem Einsetzen auch schon probiert.
Für q = 1 erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1-1^{n+1}}{1-1} =\frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Du solltest schon in der Reihe einsetzen und dann siehst Du auch ohne Summenformel direkt was in den Randwerten los ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n 1^k=? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (-1)^k=? \end{eqnarray*}$

29.04.2009, 23:16

Very

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aah

dann erhalte ich also für
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n 1^k=1 + 1 + 1 + ...+1 \end{eqnarray*}$ und damit konvergiert die Reihe für q=1.

Bei q=-1 habe ich allerdings immer noch Probleme. Da hüpft die Reihe immer zwischen 1 und -1 hin und her. Sie ist also alternierend.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (-1)^k=1 - 1 + 1 - 1 + 1 ,... \end{eqnarray*}$

Kann ich dann eine Aussage über die Konvergenz treffen. Sie ist ja weder divergent noch konvergent, oder?

30.04.2009, 10:10

Frank Xerox

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Zitat:

Original von Very
aah smile

dann erhalte ich also für
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n 1^k=1 + 1 + 1 + ...+1 \end{eqnarray*}$ und damit konvergiert die Reihe für q=1.

So so, wie lautet denn dann der Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n 1^k=n+1~? \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bei q=-1 habe ich allerdings immer noch Probleme. Da hüpft die Reihe immer zwischen 1 und -1 hin und her. Sie ist also alternierend.

Nö, die Partialsummenfolge nimmt abwechselnd die Werte 1 und 0 an.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (-1)^k=1 - 1 + 1 - 1 + 1 ,... \end{eqnarray*}$

Genauer:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (-1)^k=\left\{ \begin{array}{r@{\quad:\quad}l} 0 & n \ \mbox{ungerade} \\ 1 & n \ \mbox{gerade} \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Kann ich dann eine Aussage über die Konvergenz treffen. Sie ist ja weder divergent noch konvergent, oder?

Die Konvergenz einer Reihe wird über die Konvergenz der Folge der Partialsummen definiert.

Eine Reihe, die nicht konvergiert, divergiert. Du meintest vermutlich, dass sie nicht gegen "Unendlich divergiert", was sicher richtig ist. Dennoch divergiert sie.

01.05.2009, 01:08

Very

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Danke erstmal für die super Erklärung.

oh.. ich hab natürlich gemeint, dass die Reihe für q=1 divergiert. 1+1+1+1,...+1 wird ja unendlich groß wenn n gegen unendlich geht.

Das mit der Divergenz habe ich jetzt auch verstanden. Die Reihe divergiert also unbestimmt, weil sie weder konvergiert noch bestimmt divergiert.

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