Trennen der Variablen - DGL |
29.04.2009, 19:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Trennen der Variablen - DGL Konkrete Aufgabe ist nun: So und da hab ich schon den Salat. Was ist denn nun f und was g? |
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29.04.2009, 20:15 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL |
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29.04.2009, 20:19 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Dann war meine Idee in der Zwischenzeit richtig. Ich rechne mal eben fertig.... |
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29.04.2009, 21:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL so, ich in nun mal stur die Anleitung aus "Wirsching - Gewöhnliche DGL" durchgegangen....
Stimmt das nun so? Und wenn das nun ein AWP mit y(0)=1 sein soll, wie geht das dann weiter? Gilt dann: ? Ferner ist nach der lokalen Eindeutigkeit der Lösung gefragt. Wie geht man das an? |
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29.04.2009, 21:24 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL
Müsste eigentlich so passen. Und ja, falls das AWP so gegebenen ist, dann kannst du und gleich als Integrationsgrenzen einsetzen. So hast du halt zunächst die allgemeine Lösung bekommen... Welche Sätze habt ihr schon gehabt wegen der Eindeutigkeit? Tipp: Wenn du dich nur für die allgemeine Lösung interessierst, dann lass die Integrationsgrenzen einfach weg und integriere unbestimmt... Dann kannst du deine Lösung i.d.R. schneller nachprüfen... |
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29.04.2009, 21:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Für den Übungseffekt kann ich damit leben. AWP ist angegeben. Sätze... Alles ein bisschen konfus. Gegenfrage, was bräuchte ich denn? Hab hier was mit Picard-Lindelöof und einen Satz mit "Lipschitzbedingung". |
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29.04.2009, 21:34 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Genau! Kurz zusammengefasst sagen die Sätze in etwa folgendes aus: Peano: Stetigkeit der rechten Seite - es existiert eine Lösung Picard-Lindelöf: Lipschitz-Stetigkeit - es exisitiert genau eine Lösung. Es wäre also zu untersuchen, ob die rechte Seite stetig oder Lipschitz-stetig ist. Wenn man aber noch nicht so weit gehen will kann man sich die Dgl auch genauer anschauen und evtl. einfach mehrere Lösungen angeben... Ist halt die Frage, ob es sich nur auf die Dgl oder auch auf die gestellten Anfangswerte bezieht. |
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29.04.2009, 21:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Sind mehrere Teilaufgaben. a) y(0)=1: lokal eindeutig? b) y(0)=0: Warum gilt der Eindeutigkeitssatz hier nicht? c) Skizzieren sie weitere Lösungen für b) mit einem Richtungsfeld. Rechte Seite ist nun ? |
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29.04.2009, 21:44 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Dann musst du doch die Lipschitz-Stetigkeit untersuchen... Für b) ist es insgesamt sehr einfach, da man einfach eine weitere Lösung angeben kann. Edit: Ja, das ist die rechte Seite. |
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29.04.2009, 21:59 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Also wäre der zu untersuchende Ansatz ? |
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29.04.2009, 22:03 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Yepp, das ist die Lipschitz-Bedingung mit Lipschitz-Konstante L. Du solltest jetzt versuchen die rechte Seite abzuschätzen... Der Einfachheit halber würde ich aber dafür plädieren die allgemeine Lösung zu betrachten, ohne die Anfangswerte. Sind ja letztendlich nur Konstanten. |
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29.04.2009, 22:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Also so? Dann steht da im Grunde die Quadratwurzelfkt. und die ist nicht Lipschitzstetig, wenn mich mein rudimentäres Wissen aus Ana nicht trügt. Stetigkeit liegt aber vor. |
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29.04.2009, 22:18 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Genau - und damit kannst du Picard erledigen... Die rechte Seite ist nicht überall Lipschitz-Stetig. Insbesondere kannst du in b) ja auch einfach eine zweite Lösung angeben, die hier gegeben ist durch . Damit ist die Eindeutigkeit verletzt. Das Stetigkeitsargument hilft aber zumindest noch für Peano, dass eine Lösung existiert. |
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29.04.2009, 22:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Trennen der Variablen - DGL Frage. Ich soll doch bei a) schon auf die Eindeutigkeit eingehen. Warum wird dass dann bei b) nochmal gefragt? Also so? a) wie oben gerechnet. Lokal nicht eindeutig, wegen nicht L-stetig. b) Lösung aus (a) Plotten und das Polygon dazu berechnen und ebenfalls einzeichnen. Eindeutigkeit gilt nicht, siehe a) c) Nullfunktion löst auch (b). Richtungsfeld zeichnen und noch eine dritte Lösung angeben |
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29.04.2009, 23:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nachtrag: Bei der b) ist doch gar keine Schrittweite angeben. Wie soll man dann lösen? Die Lösung aus (a) ergibt sich zu Nun haben wir ja schon gesagt, dass das AWP nicht eindeutig lösbar ist. Nochmal als Rückfrage: Diese Aussage hängt NICHT von dem Startwert ab? Es kann nun also sein, dass wir bei dem Eulerverfahren eine andere Lösung bekommen, als bei dem Trennen der Variablen. Das Vorgehen (TdV)liefert i.A. nicht alle Lösungen? Sondern, was rauskommt bestätigt man durch einsetzten als eine Lösung? Zurück zu Euler: Mein erster Punkt ist dann (0/0). Nun wähle ich als Maschenweite man h=1 und ersetzte die Ableitung y' durch einen Differenzenquotienten. Somit lautet der nächste Polygonpunkt (1/0). Aber wie soll es nun weiter gehen? Ich kenne hier y ja eigentlich noch nicht. Wie soll ich dann den nächsten WErt von y' berechnen?
Dann kann ich aber Picard-L. erst dann anwenden, wenn ich eine Lösung schon gefunden habe? Und auch Peano. Das macht irgendwie keinen Sinn. Hätte ich nicht machen müssen: ? Argumentation bleibt, hier ist es eben die Dritte Wurzel die für x-> 0 unendlich steil wird. |
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30.04.2009, 08:11 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hier hast du dich bei der Ableitung verrechnet. Es müsste ja nur die Wurzel rauskommen als Ableitung.
Du hast oben aber zwei Anfangswertprobleme angegeben: an der Stelle Null soll bei a) 1 und bei b) 0 als Funktionswert angenommen werden? Oder hast du dich da vertippt? Wenn nein, dann sind es ja verschiedene Anfangswerte...
Das Euler-Verfahren ist ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Funktionswerte der Lösung und liefert i.A. nur sehr ungenaue Werte. Es kommt ja bei diesem Verfahren stark auf das Verhalten der Funktion an. Das Verfahren lautet auch Euler-Tangentenverfahren - und was anderes wird auch nicht gemacht. An deinem Anfangswert kennst du durch die Differentialgleichung die Steigung der Tangenten im Anfangspunkt. Dadurch kannst du die Gleichung der Tangenten aufstellen. Wenn du die Tangentengleichung hast, kannst du dann den Funktionswert an einer Stelle bestimmen... Dort erhälst du wieder durch die Differentialgleichung den Anstieg der Tangenten und so weiter...
I.d.R. fragt man sich vor der Lösung der Differentialgleichung ob das Problem überhaupt eindeutig lösbar ist. Das kann man ja machen, wenn man sich die rechte Seite der Differentialgleichung ansieht. Und sorry - der Ansatz war verkehrt... Du musst die rechte Seite der Dgl einsetzen. Also: Ist unsere Differentialgleichung gegeben durch dann lautet der Ansatz . f muss Lipschitz-stetig bzgl. y sein! Einfaches Beispiel: Das Anfangswertproblem ist lösbar, aber nicht eindeutig lösbar. Die rechte Seite der Differentialgleichung ist stetig, aber eben nicht Lipschitz-stetig bzgl. y. |
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30.04.2009, 08:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
a) was meinst du mit nur die Wurzel? Gib mir bitte mal y und y' an sowie Lipschitzabschätzung. Ich komme da mit dem y nicht klar. vielleicht "sehe" ich es dann. b) ja, sind 2 verschiedene AWP. c) euler: man setzt also den Näherungswert (y-Koordiante des Polygonpuntkes) als Funktionswert y(x)...? Bis heute abend. Muss nun weg. Danke |
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30.04.2009, 09:00 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
a) Die Ableitung oben ist doh nicht richtig. c) Ja. b) Wir betrachten die Lipschitz-Bedingung bzgl. y und schreiben mit demnach nach dem Mittelwertsatz. D.h. f(x,y) ist für Lipschitz-stetig bzgl. y. Für gilt ja für . Damit ist f(x,y) in keiner Umgebung von Lipschitz-stetig und damit kann es um diese Umgebung keine eindeutig bestimmte Lösung geben. Eine Lösung hast du durch TdV herausbekommen, die andere ist . Damit beantwortet sich dann die Frage zum anderen Anfangswertproblem. Ferner kannst du auch auf folgenden Eindeutigkeitssatz für Gleichungen mit getrennten Variablen zurückgreifen: Ist und , so ist das Anfangswertproblem eindeutig lösbar. |
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01.05.2009, 11:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, dann rechne ich das nochmal. Falls jemand den Fehler sieht, bitte melden. Denke b) verstehe ich nun. Denn ein Satz über Existenz von Lösungen macht ja wenig sein,, wenn manLösung einsetzen muss. Danke und einen schönen 1. Mai. |
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01.05.2009, 11:38 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich meinte doch nur folgendes: Du hast oben stehen . Das war mit der falschen Ableitung gemeint. Und wie gesagt - ich hatte mich das eine mal oben vertag: man braucht nicht die allgemeine Lösung zu kennen, um über Existenz und Eindeutigkeit zu entscheiden. |
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02.05.2009, 16:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So wie du es schreibst, ist es doch dann gar keine Lösung der DGL. Nicht dass das eine Begründung für falsches Ableitunen wäre, aber... Somit ist die Ableitung die Dritte Wurzel. Was soll da nun falsch sein? ..... |
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02.05.2009, 16:22 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ach, ich habe die Klammer oben übersehen Bin von der Funktion ausgegangen, die oben steht... Jetzt eigentlich alles klar mit der Aufgabe? |
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02.05.2009, 16:58 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
[attach]10398[/attach] Leider bin ich noch nicht sicher, ob ich nun richtig puzzle. Wir haben allgemein die DGL: Wie ist das nun mit dem lokal eindeutig gemeint? Für welche Werte interessiert man sich da? Und was hat das mit den Anfangswerten zu tun? Bei dieser Aufgabe ist ja nicht der Funktionswert das Problem, sondern das x=0. Daher würde ich sagen (siehe wie du Lipschitz geschrieben hast), dass man lokal nicht eindeutig ist, weil eben die 0 immer in dem Intervall sein sein muss, wegen der Anfangswertbedingung. VErstehe nun aber nicht, warum ich das in b) wieder gefragt werde... Oder welcher Satz würde dir zu Euler noch einfallen... Bei c dann eben was malen. Was wäre nun, wenn das AWP lauten würde: Lokal dann eindeutig? Global (auf dem was maximal zulässig ist) dann nicht, weil dann wieder das Problem bei x=0 auftritt? |
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02.05.2009, 17:18 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das mit dem lokal ist schnell geklärt: Die Sätze von Peano und von Picard-Lindelöf sind nur Sätze, über die man lokal Aussagen zur Lösung machen kann. Globale Aussagen kann man nur mittels der Fortsetzbarkeitssätze machen (stetige Fortsetzbarkeit der Lösung, Maximalintervall, usw). Ließ dir die Sätze von P.-L. und Peano nochmal durch und du wirst sehen, das da immer von einem kleinen "Quader" gesprochen wird - also alles rein lokal. Deshalb hat der Aufgabensteller dies auch so formuliert. In der Tat ist das Anfangswertproblem y(0)=1 lokal eindeutig lösbar. Es ist sogar für alle Punkte eindeutig, die nicht auf der x-Achse liegen: d.h. es gibt eine eindeutig bestimmte Lösung, die durch den Punkt verläuft. Wenn wir nun das AWP y(0)=0 betrachten, so sieht die Sache anders aus: du hast eine Lösung durch Trennung bestimmt, und außerdem ist eine weitere durch y=0 gegeben. Die Begründung gab es ja schon oben: Lipschitz-Stetigkeit. Daher kann das Eindeutigkeitstheorem auf ein Gebiet, das Teile der x-Achse enthält, nicht angewendet werden. Seltsam ist nur, dass beim Euler-Verfahren keine Schrittweite angegeben ist. Nun gut, die kannst du ja selbst bestimmen und schnell ausrechnen. Du kannst das ja mal ausrechnen... Kann passieren, dass das Euler-Verfahren in der Nähe der Null "durchdreht", weil die Lösung halt nicht eindeutig ist. Zur letzten Frage: y(1)=1 ist wieder eindeutig - siehe oben. |
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02.05.2009, 17:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So, die Peinlichkeit, dass ich bis vor einer Sekunde auf der Leitung stand, will ich dann doch nicht verscheigen. Es kommt nicht auf das x=0, was ja bei a) und b) der Fall ist an. Sondern auf das y, weil wir das ja einsetzen . Und da ist y=0 kritisch, das taucht bei b) auf. Bei a) also in einer Umgebung von y=1 lokal eindeutig? |
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02.05.2009, 17:44 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja |
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