Trennen der Variablen - DGL

29.04.2009, 19:54

tigerbine

Trennen der Variablen - DGL

Anwendung soll das ja finden bei

$\begin{eqnarray*} y'=f(x)g(y) \end{eqnarray*}$

Konkrete Aufgabe ist nun:

$\begin{eqnarray*} y'(x) = y(x)^{\frac{1}{3}},~0 \leq x \end{eqnarray*}$

So und da hab ich schon den Salat. Was ist denn nun f und was g?

29.04.2009, 20:15

Huggy

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RE: Trennen der Variablen - DGL
$\begin{eqnarray*} y'=1\cdot y^{1/3} \end{eqnarray*}$

29.04.2009, 20:19

tigerbine

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Mit Zunge

Dann war meine Idee in der Zwischenzeit richtig. Ich rechne mal eben fertig....

29.04.2009, 21:14

tigerbine

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RE: Trennen der Variablen - DGL
so, ich in nun mal stur die Anleitung aus "Wirsching - Gewöhnliche DGL" durchgegangen....

Man schreibe die DGL in der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot (y(x))^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$
Man behandle die Linke Seite wie einen Bruch und stelle um:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{(y(x))^{\frac{1}{3}}} = 1 dx \end{eqnarray*}$
Nun auf beiden Seiten geeignete Integralzeichen

$\begin{eqnarray*} \int_{y_0}^y ~\frac{1}{\xi^{\frac{1}{3}}}~d\xi = \int_{x_0}^x~1 d \tau \end{eqnarray*}$
Integrale Berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}y^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2}y_0^{\frac{2}{3}} = x-x_0 \end{eqnarray*}$
Man löse die Gleichung nach y auf und schreibe y(x) statt y.

$\begin{eqnarray*} y(x)=[\frac{2}{3}x + (y_0^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3} x_0)]^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
Man mache die Probe:
$\begin{eqnarray*} y'(x)=[\frac{2}{3}x + (y_0^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3} x_0)]^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das nun so? Und wenn das nun ein AWP mit y(0)=1 sein soll, wie geht das dann weiter? Gilt dann:

$\begin{eqnarray*} y_0=1, x_0=0 \end{eqnarray*}$ ?

Ferner ist nach der lokalen Eindeutigkeit der Lösung gefragt. Wie geht man das an?

29.04.2009, 21:24

vektorraum

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RE: Trennen der Variablen - DGL

Zitat:

Original von tigerbine
Stimmt das nun so? Und wenn das nun ein AWP mit y(0)=1 sein soll, wie geht das dann weiter? Gilt dann:

$\begin{eqnarray*} y_0=1, x_0=0 \end{eqnarray*}$ ?

Ferner ist nach der lokalen Eindeutigkeit der Lösung gefragt. Wie geht man das an?

Müsste eigentlich so passen. Und ja, falls das AWP so gegebenen ist, dann kannst du $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0=1 \end{eqnarray*}$ gleich als Integrationsgrenzen einsetzen. So hast du halt zunächst die allgemeine Lösung bekommen...

Welche Sätze habt ihr schon gehabt wegen der Eindeutigkeit?

Tipp: Wenn du dich nur für die allgemeine Lösung interessierst, dann lass die Integrationsgrenzen einfach weg und integriere unbestimmt... Dann kannst du deine Lösung i.d.R. schneller nachprüfen...

29.04.2009, 21:29

tigerbine

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Für den Übungseffekt kann ich damit leben. AWP ist angegeben.

Sätze... Alles ein bisschen konfus. geschockt

Gegenfrage, was bräuchte ich denn? Hab hier was mit Picard-Lindelöof und einen Satz mit "Lipschitzbedingung".

29.04.2009, 21:34

vektorraum

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Genau! Kurz zusammengefasst sagen die Sätze in etwa folgendes aus:

Peano: Stetigkeit der rechten Seite - es existiert eine Lösung

Picard-Lindelöf: Lipschitz-Stetigkeit - es exisitiert genau eine Lösung.

Es wäre also zu untersuchen, ob die rechte Seite stetig oder Lipschitz-stetig ist.

Wenn man aber noch nicht so weit gehen will kann man sich die Dgl auch genauer anschauen und evtl. einfach mehrere Lösungen angeben...

Ist halt die Frage, ob es sich nur auf die Dgl oder auch auf die gestellten Anfangswerte bezieht.

29.04.2009, 21:37

tigerbine

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Sind mehrere Teilaufgaben.

a) y(0)=1: lokal eindeutig?

b) y(0)=0: Warum gilt der Eindeutigkeitssatz hier nicht?

c) Skizzieren sie weitere Lösungen für b) mit einem Richtungsfeld.

Rechte Seite ist nun $\begin{eqnarray*} y(x)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ ?

29.04.2009, 21:44

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Dann musst du doch die Lipschitz-Stetigkeit untersuchen...

Für b) ist es insgesamt sehr einfach, da man einfach eine weitere Lösung angeben kann.

Edit: Ja, das ist die rechte Seite.

29.04.2009, 21:59

tigerbine

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Also wäre der zu untersuchende Ansatz ?

$\begin{eqnarray*} |~[\frac{2}{3}u + (y_0^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3} x_0)]^{\frac{1}{2}} - [\frac{2}{3}v + (y_0^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3} x_0)]^{\frac{1}{2}} \leq L \cdot |u-v|,~x_0=0, y_0=1 \end{eqnarray*}$

29.04.2009, 22:03

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Yepp, das ist die Lipschitz-Bedingung mit Lipschitz-Konstante L. Du solltest jetzt versuchen die rechte Seite abzuschätzen...

Der Einfachheit halber würde ich aber dafür plädieren die allgemeine Lösung zu betrachten, ohne die Anfangswerte. Sind ja letztendlich nur Konstanten.

29.04.2009, 22:10

tigerbine

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Also so?

$\begin{eqnarray*} |~[\frac{2}{3}u ]^{\frac{1}{2}} - [\frac{2}{3}v]^{\frac{1}{2}}| \leq L \cdot |u-v| \end{eqnarray*}$

Dann steht da im Grunde die Quadratwurzelfkt. und die ist nicht Lipschitzstetig, wenn mich mein rudimentäres Wissen aus Ana nicht trügt. Stetigkeit liegt aber vor.

29.04.2009, 22:18

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Genau - und damit kannst du Picard erledigen... Die rechte Seite ist nicht überall Lipschitz-Stetig. Insbesondere kannst du in b) ja auch einfach eine zweite Lösung angeben, die hier gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} y\equiv 0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Eindeutigkeit verletzt. Das Stetigkeitsargument hilft aber zumindest noch für Peano, dass eine Lösung existiert.

29.04.2009, 22:25

tigerbine

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RE: Trennen der Variablen - DGL
Frage. Ich soll doch bei a) schon auf die Eindeutigkeit eingehen. Warum wird dass dann bei b) nochmal gefragt?

Also so?

a) wie oben gerechnet. Lokal nicht eindeutig, wegen nicht L-stetig.

b) Lösung aus (a) Plotten und das Polygon dazu berechnen und ebenfalls einzeichnen. Eindeutigkeit gilt nicht, siehe a)

c) Nullfunktion löst auch (b). Richtungsfeld zeichnen und noch eine dritte Lösung angeben

29.04.2009, 23:51

tigerbine

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Nachtrag: Bei der b) ist doch gar keine Schrittweite angeben. Wie soll man dann lösen? verwirrt

Die Lösung aus (a) ergibt sich zu

$\begin{eqnarray*} y(x)=[\frac{2}{3}x ]^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=[\frac{2}{3}x]^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir ja schon gesagt, dass das AWP nicht eindeutig lösbar ist. Nochmal als Rückfrage: Diese Aussage hängt NICHT von dem Startwert ab? Es kann nun also sein, dass wir bei dem Eulerverfahren eine andere Lösung bekommen, als bei dem Trennen der Variablen. Das Vorgehen (TdV)liefert i.A. nicht alle Lösungen? Sondern, was rauskommt bestätigt man durch einsetzten als eine Lösung?

Zurück zu Euler:
Mein erster Punkt ist dann (0/0). Nun wähle ich als Maschenweite man h=1 und ersetzte die Ableitung y' durch einen Differenzenquotienten.

$\begin{eqnarray*} \frac{\eta_1-\eta_0}{h} = y'(x_0) \Rightarrow \eta_1 = y'(0) \cdot h + \eta_0 = 0 \cdot 1 + 0 \end{eqnarray*}$

Somit lautet der nächste Polygonpunkt (1/0). Aber wie soll es nun weiter gehen? Ich kenne hier y ja eigentlich noch nicht. Wie soll ich dann den nächsten WErt von y' berechnen?

Zitat:

Original von tigerbine
Also wäre der zu untersuchende Ansatz ?

$\begin{eqnarray*} |~[\frac{2}{3}u + (y_0^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3} x_0)]^{\frac{1}{2}} - [\frac{2}{3}v + (y_0^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3} x_0)]^{\frac{1}{2}} \leq L \cdot |u-v|,~x_0=0, y_0=1 \end{eqnarray*}$

Dann kann ich aber Picard-L. erst dann anwenden, wenn ich eine Lösung schon gefunden habe? verwirrt

Und auch Peano. Das macht irgendwie keinen Sinn. Hätte ich nicht machen müssen:

$\begin{eqnarray*} |v^{\frac{1}{3}} - u^{\frac{1}{3}}| \leq L|u-v| \end{eqnarray*}$ ?

Argumentation bleibt, hier ist es eben die Dritte Wurzel die für x-> 0 unendlich steil wird.

30.04.2009, 08:11

vektorraum

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Zitat:

Original von tigerbine
Nachtrag: Bei der b) ist doch gar keine Schrittweite angeben. Wie soll man dann lösen? verwirrt

Die Lösung aus (a) ergibt sich zu

$\begin{eqnarray*} y(x)=[\frac{2}{3}x ]^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=[\frac{2}{3}x]^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Hier hast du dich bei der Ableitung verrechnet. Es müsste ja nur die Wurzel rauskommen als Ableitung.

Zitat:

Nun haben wir ja schon gesagt, dass das AWP nicht eindeutig lösbar ist. Nochmal als Rückfrage: Diese Aussage hängt NICHT von dem Startwert ab? Es kann nun also sein, dass wir bei dem Eulerverfahren eine andere Lösung bekommen, als bei dem Trennen der Variablen. Das Vorgehen (TdV) liefert i.A. nicht alle Lösungen? Sondern, was rauskommt bestätigt man durch einsetzten als eine Lösung?

Du hast oben aber zwei Anfangswertprobleme angegeben: an der Stelle Null soll bei a) 1 und bei b) 0 als Funktionswert angenommen werden? Oder hast du dich da vertippt? Wenn nein, dann sind es ja verschiedene Anfangswerte...

Zitat:

Zurück zu Euler:
Mein erster Punkt ist dann (0/0). Nun wähle ich als Maschenweite man h=1 und ersetzte die Ableitung y' durch einen Differenzenquotienten.

$\begin{eqnarray*} \frac{\eta_1-\eta_0}{h} = y'(x) \Rightarrow \eta_1 = y'(0) \cdot h + \eta_0 = 0 \cdot 1 + 0 \end{eqnarray*}$

Somit lautet der nächste Polygonpunkt (1/0). Aber wie soll es nun weiter gehen? Ich kenne hier y ja eigentlich noch nicht. Wie soll ich dann den nächsten WErt von y' berechnen?

Das Euler-Verfahren ist ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Funktionswerte der Lösung und liefert i.A. nur sehr ungenaue Werte. Es kommt ja bei diesem Verfahren stark auf das Verhalten der Funktion an.
Das Verfahren lautet auch Euler-Tangentenverfahren - und was anderes wird auch nicht gemacht. An deinem Anfangswert kennst du durch die Differentialgleichung die Steigung der Tangenten im Anfangspunkt. Dadurch kannst du die Gleichung der Tangenten aufstellen. Wenn du die Tangentengleichung hast, kannst du dann den Funktionswert an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_1=x_0+h \end{eqnarray*}$ bestimmen... Dort erhälst du wieder durch die Differentialgleichung den Anstieg der Tangenten und so weiter...

Zitat:

I.d.R. fragt man sich vor der Lösung der Differentialgleichung ob das Problem überhaupt eindeutig lösbar ist. Das kann man ja machen, wenn man sich die rechte Seite der Differentialgleichung ansieht.

Und sorry - der Ansatz war verkehrt... Du musst die rechte Seite der Dgl einsetzen. Also:

Ist unsere Differentialgleichung gegeben durch

$\begin{eqnarray*} y'=f(x,y) \end{eqnarray*}$

dann lautet der Ansatz

$\begin{eqnarray*} |f(x,y)-f(x,\tilde y)|\leq L\cdot |y-\tilde y| \end{eqnarray*}$ .

f muss Lipschitz-stetig bzgl. y sein!

Einfaches Beispiel: Das Anfangswertproblem

$\begin{eqnarray*} y'=\sqrt{|x|},~~~y(0)=0 \end{eqnarray*}$

ist lösbar, aber nicht eindeutig lösbar. Die rechte Seite der Differentialgleichung ist stetig, aber eben nicht Lipschitz-stetig bzgl. y.

30.04.2009, 08:28

tigerbine

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a) was meinst du mit nur die Wurzel? Gib mir bitte mal y und y' an sowie Lipschitzabschätzung. Ich komme da mit dem y nicht klar. vielleicht "sehe" ich es dann.

b) ja, sind 2 verschiedene AWP.

c) euler: man setzt also den Näherungswert (y-Koordiante des Polygonpuntkes) als Funktionswert y(x)...?

Bis heute abend. Muss nun weg. Danke Wink

30.04.2009, 09:00

vektorraum

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a) Die Ableitung oben ist doh nicht richtig.

c) Ja.

b) Wir betrachten die Lipschitz-Bedingung bzgl. y und schreiben mit

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=y^{1/3} \end{eqnarray*}$

demnach

$\begin{eqnarray*} |f(x,y)-f(x,\tilde y)|=|y^{1/3}-\tilde y^{1/3}|\leq L|y-\tilde y| \end{eqnarray*}$

nach dem Mittelwertsatz. D.h. f(x,y) ist für $\begin{eqnarray*} y_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ Lipschitz-stetig bzgl. y. Für $\begin{eqnarray*} y_0=0 \end{eqnarray*}$ gilt ja

$\begin{eqnarray*} \frac{|f(x,y)-f(x,y_0)}{y-y_0}=\frac{|y^{1/3}|}{|y|}=|y^{-2/3}|\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} y\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist f(x,y) in keiner Umgebung von $\begin{eqnarray*} (x,0) \end{eqnarray*}$ Lipschitz-stetig und damit kann es um diese Umgebung keine eindeutig bestimmte Lösung geben. Eine Lösung hast du durch TdV herausbekommen, die andere ist $\begin{eqnarray*} y\equiv 0 \end{eqnarray*}$ .

Damit beantwortet sich dann die Frage zum anderen Anfangswertproblem.

Ferner kannst du auch auf folgenden Eindeutigkeitssatz für Gleichungen mit getrennten Variablen zurückgreifen:

Ist $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)\in I\times J \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(y_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so ist das Anfangswertproblem

$\begin{eqnarray*} y'=f(x)\cdot g(y),~~~y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$

eindeutig lösbar.

01.05.2009, 11:22

tigerbine

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Zitat:

Original von vektorraum
a) Die Ableitung oben ist doh nicht richtig.

Ok, dann rechne ich das nochmal. Falls jemand den Fehler sieht, bitte melden. Denke b) verstehe ich nun. Denn ein Satz über Existenz von Lösungen macht ja wenig sein,, wenn manLösung einsetzen muss.

Danke und einen schönen 1. Mai.

01.05.2009, 11:38

vektorraum

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Ich meinte doch nur folgendes:

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}~\Rightarrow~y'(x)=x^{1/2} \end{eqnarray*}$

Du hast oben stehen

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\frac{2}{3}x^{1/2} \end{eqnarray*}$ .

Das war mit der falschen Ableitung gemeint.

Und wie gesagt - ich hatte mich das eine mal oben vertag: man braucht nicht die allgemeine Lösung zu kennen, um über Existenz und Eindeutigkeit zu entscheiden.

02.05.2009, 16:05

tigerbine

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So wie du es schreibst, ist es doch dann gar keine Lösung der DGL. Nicht dass das eine Begründung für falsches Ableitunen wäre, aber...

$\begin{eqnarray*} f(x):=(\frac{2}{3}x)^{\frac{3}{2}} =((\frac{2}{3}x)^{\frac{1}{2}})^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x):=\frac{3}{2}(\frac{2}{3}x)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{3} =(\frac{2}{3}x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Somit ist die Ableitung die Dritte Wurzel. Was soll da nun falsch sein? ..... verwirrt

02.05.2009, 16:22

vektorraum

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Ach, ich habe die Klammer oben übersehen Hammer

Bin von der Funktion ausgegangen, die oben steht...

Jetzt eigentlich alles klar mit der Aufgabe?

02.05.2009, 16:58

tigerbine

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Leider bin ich noch nicht sicher, ob ich nun richtig puzzle. Wir haben allgemein die DGL:

$\begin{eqnarray*} y'=y^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Wie ist das nun mit dem lokal eindeutig gemeint? Für welche Werte interessiert man sich da? Und was hat das mit den Anfangswerten zu tun? Bei dieser Aufgabe ist ja nicht der Funktionswert das Problem, sondern das x=0. Daher würde ich sagen (siehe wie du Lipschitz geschrieben hast), dass man lokal nicht eindeutig ist, weil eben die 0 immer in dem Intervall sein sein muss, wegen der Anfangswertbedingung. VErstehe nun aber nicht, warum ich das in b) wieder gefragt werde... Oder welcher Satz würde dir zu Euler noch einfallen... verwirrt

Bei c dann eben was malen.

Was wäre nun, wenn das AWP lauten würde:

$\begin{eqnarray*} y'=y^{\frac{1}{3}},~y(1)=1 \end{eqnarray*}$

Lokal dann eindeutig? Global (auf dem was maximal zulässig ist) dann nicht, weil dann wieder das Problem bei x=0 auftritt?

02.05.2009, 17:18

vektorraum

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Das mit dem lokal ist schnell geklärt: Die Sätze von Peano und von Picard-Lindelöf sind nur Sätze, über die man lokal Aussagen zur Lösung machen kann. Globale Aussagen kann man nur mittels der Fortsetzbarkeitssätze machen (stetige Fortsetzbarkeit der Lösung, Maximalintervall, usw). Ließ dir die Sätze von P.-L. und Peano nochmal durch und du wirst sehen, das da immer von einem kleinen "Quader" gesprochen wird - also alles rein lokal. Deshalb hat der Aufgabensteller dies auch so formuliert.

In der Tat ist das Anfangswertproblem y(0)=1 lokal eindeutig lösbar. Es ist sogar für alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ eindeutig, die nicht auf der x-Achse liegen: d.h. es gibt eine eindeutig bestimmte Lösung, die durch den Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ verläuft.

Wenn wir nun das AWP y(0)=0 betrachten, so sieht die Sache anders aus: du hast eine Lösung durch Trennung bestimmt, und außerdem ist eine weitere durch y=0 gegeben. Die Begründung gab es ja schon oben: Lipschitz-Stetigkeit. Daher kann das Eindeutigkeitstheorem auf ein Gebiet, das Teile der x-Achse enthält, nicht angewendet werden.

Seltsam ist nur, dass beim Euler-Verfahren keine Schrittweite angegeben ist. Nun gut, die kannst du ja selbst bestimmen und schnell ausrechnen. Du kannst das ja mal ausrechnen... Kann passieren, dass das Euler-Verfahren in der Nähe der Null "durchdreht", weil die Lösung halt nicht eindeutig ist.

Zur letzten Frage: y(1)=1 ist wieder eindeutig - siehe oben.

02.05.2009, 17:27

tigerbine

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Zitat:

Ok, der Preis für "Anhaltendes auf der Leitung stehen" geht an mich. Aber wo verwendest du bei Lipschitz denn den Anfangswert? Ups

So, die Peinlichkeit, dass ich bis vor einer Sekunde auf der Leitung stand, will ich dann doch nicht verscheigen. Es kommt nicht auf das x=0, was ja bei a) und b) der Fall ist an. Sondern auf das y, weil wir das ja einsetzen $\begin{eqnarray*} y^{frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ . Und da ist y=0 kritisch, das taucht bei b) auf. Bei a) also in einer Umgebung von y=1 lokal eindeutig?

02.05.2009, 17:44

vektorraum

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Zitat:

Und da ist y=0 kritisch, das taucht bei b) auf. Bei a) also in einer Umgebung von y=1 lokal eindeutig?

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