Minimierungsprobleme

29.04.2009, 20:50	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimierungsprobleme Hallo, ich habe gerade bei folgender Aufgabe einen Hänger: Seien $\begin{eqnarray} x_1, \ldots , x_n \end{eqnarray}$ Messwerte und $\begin{eqnarray} x_{[1]}, \ldots , x_{[n]} \end{eqnarray}$ , die zugehörigen, der Größe nach sortierten Werte. Seien $\begin{eqnarray} R_0(x,c) = \max(\|x_i-c\|) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_1(x,c) = \sum_{i=1}^n \|x_i-c\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_2(x,c) = \sum_{i=1}^n(x_i-c)^2 \end{eqnarray}$ Ich soll die Lösungen der Minimierungsprobleme sowie die zugehörigen Minima finden. Vielen Dank für jede Hilfe Grüße toasten EDIT: Hatte anstatt $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ aus Versehen $\begin{eqnarray} R_0 \end{eqnarray}$ geschrieben...
29.04.2009, 22:38	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ habe ich die Lösung herausbekommen. Es gilt hier $\begin{eqnarray} R_2= \sum_{i=1}^n(x_i-c)^2 = \sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_ic+c^2) \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} \frac{\partial R_2(x,c)}{\partial c} = -2 \sum_{i=1}^n x_i + 2nc \end{eqnarray}$ . Nun 0 setzen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial R_2(x,c)}{\partial c} = 0 \Leftrightarrow c = \frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n} \end{eqnarray}$ Hier kann man also das Minimierungsproblem mit dem Mittelwert vergleichen. Kann mir jemand bei $\begin{eqnarray} R_0, R_1 \end{eqnarray}$ helfen? Danke!
30.04.2009, 03:24	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
also für $\begin{eqnarray} R_1(x,c) \end{eqnarray}$ muss c nur so gewählt werden, dass genauso viele $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ größer als c wie kleiner als c sind. (nennt man glaub ich Median) wenn man dann c leicht erhöht oder erniedrigt ändert sich an der Summe der Abstände nichts, weil genausoviele $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ ihre Abstände um die Änderung von c vergrößern, wie die anderen $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ ihre verkleinern. Sind mehr $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ größer würden sich mehr Abstände vergrößern, wenn man c in Richtung der unteren $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ bewegen würde.
30.04.2009, 03:31	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} R_0(x,c) \end{eqnarray}$ orientiere dich mal nur an dem größten und kleinsten $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ (kann ja nicht alles verraten)
04.05.2009, 15:44	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo frank09, ist zwar schon ein paar Tage her, aber trotzdem nochmal danke für deine Tipps. Habe es damit, denke ich, hinbekommen. Grüße toasten

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