Summe zweier Quadrate

30.04.2009, 05:26	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe zweier Quadrate Hallo, habe nur eine kurze Frage damit ich bei meinem Beweisversuch nicht ins Leere laufe. Also angenommen ich habe ein Produkt n=abcde Angenommen ich weiss dass man abc durch Summe zweier Quadrate darstellen kann. Nun gilt ja die Identität (x²+y²)(u²+v²)=(xu+yv)²+(xv-yu)² Ist n damit dann AUSSCHLIEßLICH als Summe von zwei Quadraten darstellbar, wenn auch d und e selbst von dieser Form sind oder gibt es auch noch andere Schlupflöcher, also Alternativen ? Gruß Björn
30.04.2009, 12:08	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe zweier Quadrate Hi Bjoern, Also wenn $\begin{eqnarray} n=m\cdot k \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} m=a^2+b^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n=r^2+s^2 \end{eqnarray}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ die Summe zweier Quadrate (nicht anders lautet ja Deine Aufgabe). Beweis: Die Identität, die Du dort hast, ist schon mal hilfreich. Stichwort: Lineares Gleichungssystem. Gruß, Reksilat
30.04.2009, 20:20	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank schonmal Also ich habe deswegen gefragt weil es um diese Aufgabe ging: Sei n eine positive ganze Zahl mit $\begin{eqnarray} n=M²p_1p_2 \cdot ... \cdot p_k \end{eqnarray}$ p1 bis pk seien verschiedene Primfaktoren Beweisen sollte man nun folgendes: Falls irgendein Primfaktor $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ kongruent 3 modulo 4 ist, dann kann man n nicht als Summe zweier Quadratzahlen schreiben. Nun hatten wir in der Vorlesung schon gezeigt, dass man $\begin{eqnarray} n=M²p_1p_2 \cdot ... \cdot p_k \end{eqnarray}$ als Summe von 2 Quadraten schreiben kann, wenn alle $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ kongruent 1 modulo 4 sind (oder p=2) Joa und dann dachte ich mir halt, dass wenn ich zeige, dass man den Primfaktor $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ kongruent 3 modulo NICHT als Summe zweier Quadrate schreiben kann, dann hab ich gewonnen
01.05.2009, 00:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist Dein Ansatz genau richtig. Die Zahlen die bei Division durch 4 den Rest 3 ergeben, sind natürlich nie die Summe von zwei Quadraten und wenn Du Deine Behauptung aus dem Thread hier zeigst, bist Du fertig. Viel Spaß dabei. Gruß, Reksilat.
01.05.2009, 00:56	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa heute war ja Abgabe, habe es so gezeigt: Angenommen Primzahlen der Form p=4k+3 wären als Summe zweier Quadrate darstellbar, also a²+b²=4k+3 Da p in jedem Fall ungerade ist kann man o.B.d.A. annehmen, dass a gerade und b ungerade ist, demnach also a=2r und b=2s+1 gilt. Daraus folgt a²+b²=4r²+4s²+4s+1 und das ist offensichtlich 1 kongruent modulo 4, hat also die Form a²+b²=4t+1 ----> Widerspruch Passt doch so oder ? Gruß Björn
01.05.2009, 01:03	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, Quadrate sind modulo 4 immer nur 0 oder 1; als Summe kommt dann eben nur 0,1 oder 2 in Frage. Gruß, Reksilat.
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01.05.2009, 01:06	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank

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