Summe zweier Quadrate |
30.04.2009, 05:26 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Summe zweier Quadrate habe nur eine kurze Frage damit ich bei meinem Beweisversuch nicht ins Leere laufe. Also angenommen ich habe ein Produkt n=a*b*c*d*e Angenommen ich weiss dass man a*b*c durch Summe zweier Quadrate darstellen kann. Nun gilt ja die Identität (x²+y²)(u²+v²)=(xu+yv)²+(xv-yu)² Ist n damit dann AUSSCHLIEßLICH als Summe von zwei Quadraten darstellbar, wenn auch d und e selbst von dieser Form sind oder gibt es auch noch andere Schlupflöcher, also Alternativen ? Gruß Björn |
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30.04.2009, 12:08 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Summe zweier Quadrate Hi Bjoern, Also wenn ist und , , dann ist auch die Summe zweier Quadrate (nicht anders lautet ja Deine Aufgabe). Beweis: Die Identität, die Du dort hast, ist schon mal hilfreich. Stichwort: Lineares Gleichungssystem. Gruß, Reksilat |
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30.04.2009, 20:20 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles klar, vielen Dank schonmal Also ich habe deswegen gefragt weil es um diese Aufgabe ging: Sei n eine positive ganze Zahl mit p1 bis pk seien verschiedene Primfaktoren Beweisen sollte man nun folgendes: Falls irgendein Primfaktor kongruent 3 modulo 4 ist, dann kann man n nicht als Summe zweier Quadratzahlen schreiben. Nun hatten wir in der Vorlesung schon gezeigt, dass man als Summe von 2 Quadraten schreiben kann, wenn alle kongruent 1 modulo 4 sind (oder p=2) Joa und dann dachte ich mir halt, dass wenn ich zeige, dass man den Primfaktor kongruent 3 modulo NICHT als Summe zweier Quadrate schreiben kann, dann hab ich gewonnen |
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01.05.2009, 00:22 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann ist Dein Ansatz genau richtig. Die Zahlen die bei Division durch 4 den Rest 3 ergeben, sind natürlich nie die Summe von zwei Quadraten und wenn Du Deine Behauptung aus dem Thread hier zeigst, bist Du fertig. Viel Spaß dabei. Gruß, Reksilat. |
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01.05.2009, 00:56 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Joa heute war ja Abgabe, habe es so gezeigt: Angenommen Primzahlen der Form p=4k+3 wären als Summe zweier Quadrate darstellbar, also a²+b²=4k+3 Da p in jedem Fall ungerade ist kann man o.B.d.A. annehmen, dass a gerade und b ungerade ist, demnach also a=2r und b=2s+1 gilt. Daraus folgt a²+b²=4r²+4s²+4s+1 und das ist offensichtlich 1 kongruent modulo 4, hat also die Form a²+b²=4t+1 ----> Widerspruch Passt doch so oder ? Gruß Björn |
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01.05.2009, 01:03 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja genau, Quadrate sind modulo 4 immer nur 0 oder 1; als Summe kommt dann eben nur 0,1 oder 2 in Frage. Gruß, Reksilat. |
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01.05.2009, 01:06 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Besten Dank |
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