Differenzierbarkeit

30.04.2009, 09:26

imag

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Differenzierbarkeit

Hallo
ich will folgende Aufgabe lösen, komme aber an einer Stelle nicht weiter.
Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{\alpha}: [0, \infty) \to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} f_{\alpha}=\{ x^{\alpha}sin(\frac{\pi}{x}),x>0 und 0, x=0 \end{eqnarray*}$
Für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_{\alpha} \end{eqnarray*}$ differenzierbar an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ? Für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ existiert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} f'(x) \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß, dass f differenzierbar an $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist, falls der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ existiert.
Also habe ich mal versucht diesen Grenzwert für den Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ zu berechenen.
Nur was ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+}\frac{sin(\frac{\pi}{x})}{x} \end{eqnarray*}$ ??
Da komme ich irgendwie nicht weiter. Stimmt das überhaupt bis dahin? Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

30.04.2009, 10:50

Dual Space

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von imag
Nur was ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+}\frac{sin(\frac{\pi}{x})}{x} \end{eqnarray*}$ ??

Für $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ existiert dieser Grenzwert nicht.

30.04.2009, 11:04

imag

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RE: Differenzierbarkeit
Und was sagt mir das jetzt? Das die Funktion für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist oder? Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gerade oder ungerade? Existiert da der Grenzwert auch nicht?

30.04.2009, 11:08

Dual Space

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von imag
Und was sagt mir das jetzt? Das die Funktion für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist oder?

Genau.

Zitat:

Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gerade oder ungerade? Existiert da der Grenzwert auch nicht?

Das ist als nächstes zu untersuchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Ich sehe grad, dass $\begin{eqnarray*} f_\alpha \end{eqnarray*}$ nur auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ definiert ist. Wie habt ihr denn die Differenzierbarkeit an den Randpunkten definiert?

Edit2: Es wäre evtl. angebracht die Funktion $\begin{eqnarray*} f_\alpha \end{eqnarray*}$ erst mal auf Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, da dies notwendig für Differenzierbarkeit ist.

30.04.2009, 11:21

imag

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RE: Differenzierbarkeit
Also müsste ich noch die Grenzwerte für
$\begin{eqnarray*} \alpha=2k \end{eqnarray*}$ =gerade:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+}\frac{x^{2k}sin(\frac{\pi}{x})}{x} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \alpha=2k+1 \end{eqnarray*}$ =ungerade:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+}\frac{x^{2k+1}sin(\frac{\pi}{x})}{x} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Aber irgendwie komme ich da nicht weiter!

Also wir haben meistens gesagt, das ein Intervall I, auf dem offenen Intervall I differenierbar ist.

30.04.2009, 11:26

imag

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Dual Space
Edit2: Es wäre evtl. angebracht die Funktion $\begin{eqnarray*} f_\alpha \end{eqnarray*}$ erst mal auf Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, da dies notwendig für Differenzierbarkeit ist.

Den Beweis habe ich: $\begin{eqnarray*} f_{\alpha} \end{eqnarray*}$ ist nicht stetig für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ Aber für alle anderen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ stetig. Das haben wir schon einmal gezeigt.

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30.04.2009, 13:10

Dual Space

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RE: Differenzierbarkeit
Wenn du das mit der Stetigkeit für alpha=0 schon wusstest, frage ich mich, warum du dann noch über die Diffbarkeit in diesem Falle nachgedacht hast? verwirrt

verwirrt

Sei es drum. Vergiss die Fallunterscheidung (gerade/ungerade), die ist überflüssig. Alles was du wissen musst ist $\begin{eqnarray*} \sin(x)/x\to 1 \end{eqnarray*}$ für x gegen 0.

30.04.2009, 13:42

imag

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RE: Differenzierbarkeit
Ja das ist mir dann auch erst aufgefallen. sorry, war ein bisschen blöd!
Also ist $\begin{eqnarray*} f_{\alpha} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ differenzierbar außer für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ und der Grenzwert ist dann immer 0 oder?

30.04.2009, 13:52

Dual Space

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von imag
Also ist $\begin{eqnarray*} f_{\alpha} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ differenzierbar außer für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ und der Grenzwert ist dann immer 0 oder?

Häh? Wie kommst du denn darauf? verwirrt

verwirrt

30.04.2009, 14:14

imag

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RE: Differenzierbarkeit
$\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ existiert der grenzwert doch nicht oder? und ich muss ja rausfinden für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ er existiert. Also muss ich doch den rechts- und linksseitigen Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{x^{\alpha}sin(\frac{\pi}{x})}{x} \end{eqnarray*}$ bestimmen für $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ oder?

30.04.2009, 14:37

Dual Space

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RE: Differenzierbarkeit
Ich frage mich (nach wie vor) wie das mit dem linksseitigen GW gegen Null funktionieren soll, wenn $\begin{eqnarray*} f_\alpha \end{eqnarray*}$ "links" von der Null gar nicht definiert ist.

Daher stelle ich dir nach wie vor die Frage

Zitat:

Original von Dual Space
Wie habt ihr denn die Differenzierbarkeit an den Randpunkten definiert?

02.05.2009, 12:22

imag

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RE: Differenzierbarkeit
Also eine direkte Definition dazu finde ich irgendwie nicht. Aber wir haben den Satz von Rolle oder den erweiterten Mittelwertsatz mimmer begonnen mit: Sei $\begin{eqnarray*} I=[a,b] c \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein kompaktes Intervall und es seien $\begin{eqnarray*} f,g:I \to R \end{eqnarray*}$ stetig auf I und differenzierbar auf (a,b)....
Vielleicht kann man daraus etwas ablesen. habe sonst nichts gefunden.
Und mir ist auch klar dass der linksseite grenzwert gegen 0 j irgendwie nicht existieen kann wegen Definitionsmenge.
Wäre für einen weiteren Tipp sehr dankbar.

02.05.2009, 12:30

Dual Space

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von imag
[...] und differenzierbar auf (a,b)....

Und da ist es wieder ... die Diffbarkeit auf offenen(!!!) Mengen. Evtl. musst du die Funktion trivial links von der Null fortsetzen, aber egal wie ... die Aufgabe ist schlecht gestellt.

02.05.2009, 12:43

imag

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RE: Differenzierbarkeit
Ich habe die Aufgabe ja nicht gestellt :-( Ich hab sie halt zu lösen.
für $\begin{eqnarray*} \alpha =0 \end{eqnarray*}$ ist die funktion nicht differenzierbar. Aber für welche dann?

02.05.2009, 12:54

Mathespezialschüler

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Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ definiert, so meint Differenzierbarkeit in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ i.A. die rechtsseitige Differenzierbarkeit, d.h. die Existenz des Grenzwertes $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{eqnarray*}$ .

Diese ist hier wohl nachzuprüfen.

02.05.2009, 14:47

imag

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RE: Differenzierbarkeit
Also da für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ die Funktion nicht stetig an $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist muss ich es jetzt noch für $\begin{eqnarray*} \alpha\neq 0 \end{eqnarray*}$ untersuchen.
Also den Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+}\frac{x^{\alpha}sin(\frac{\pi}{x})}{x} \end{eqnarray*}$ untersuchen oder?

03.05.2009, 16:26

luke0815

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RE: Differenzierbarkeit
also alpha=0 ist ja schon erledigt. Zu alpha > 0:

vielleicht hilft es Dir wenn du dir überlegst und skizzierst (!!) wie sich folgende Funktionen für x -> 0 verhalten:

1. $\begin{eqnarray*} f(x) = sin(1/x) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} h(x) = xsin(1/x) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} q(x) = x^2sin(1/x) \end{eqnarray*}$

(für die skizze ist es egal ob man wie in der aufgabe den sin(Pi/x) hat oder den sin(1/x))

Ich denke wenn man sich das bewusst gemacht hat, kommt man auf das mathematische von selbst.

03.05.2009, 20:05

imag

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RE: Differenzierbarkeit
Vielen Dank fürd den Tipp.
Dann existiert für die 1. Funktion kein Grenzwert und die 2. und 3. Funktion gehen gegen 0 oder?

04.05.2009, 19:59

imag

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RE: Differenzierbarkeit
Mir ist das Prinzip jetzt schon klar. Nur weiß ich nicht wie ich das richtig mathematisch beweise für alle $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ .

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