Monotonie, Maxima, Minima

30.04.2009, 09:36

Lea

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Monotonie, Maxima, Minima

Hallo
ich will die Monotinie, lokale Maxima und Minima von folgender Funktion bestimmen.
$\begin{eqnarray*} f:[0,\infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} f(x)= x^x, x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1, x=0 \end{eqnarray*}$

Komme allerdings an dieser Stelle nicht weiter:
Ich habe die erste Ableitung gebildet: f´(x)= $\begin{eqnarray*} x^x \end{eqnarray*}$ (ln(x)+1)
Aber wie bestimme ich jetzt davon die Nullstelle? Oder gibt es da noch eine andere Methode? Steh da irgenwie voll auf dem Schlauch!
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

30.04.2009, 09:42

klarsoweit

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RE: Monotonie, Maxima, Minima

Zitat:

Original von Lea
Aber wie bestimme ich jetzt davon die Nullstelle?

Immer, wenn man Nullstellen von Produkten sucht, sollte man sich mal Gedanken über die einzelnen Faktoren machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2009, 10:03

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Danke für den Tipp, manchmal steht man einfach voll auf der Leitung!
Aber bis dahin ist es soweit richtig?
Ok:
$\begin{eqnarray*} x^x=0 \end{eqnarray*}$ oder ln(x)+1=0
Also x=0 oder $\begin{eqnarray*} x=e^{-1}=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt, dass die Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \frac{1}{e}) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist und im Intervall $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{e}, \infty) \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist. Also ist bei 0 ein Hochpunkt und bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ ein Tiefpunkt.
Stimmt das so?

30.04.2009, 10:13

klarsoweit

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RE: Monotonie, Maxima, Minima

Zitat:

Original von Lea
Also x=0

Also ich würde mal sagen, daß die Gleichung x^x = 0 keine Lösung hat. smile

smile

30.04.2009, 10:14

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Und was heißt das für mich? Fällt dann der Hochpunkt einfach weg? Stimmt der Rest?

30.04.2009, 10:26

klarsoweit

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RE: Monotonie, Maxima, Minima

Zitat:

Original von Lea
Fällt dann der Hochpunkt einfach weg?

Im Prinzip ja. Es gibt keinen lokalen Hochpunkt.

Zitat:

Original von Lea
Stimmt der Rest?

Im Prinzip ja, allerdings solltest du mit einem geeigneten Kriterium auch zeigen, daß bei 1/e ein lokales Minimum ist.

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30.04.2009, 10:31

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Was wäre denn ein geeignetes Kriterium? Hab keine Idee wie ich das richtig zeigen könnte!

30.04.2009, 10:37

Frank Xerox

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RE: Monotonie, Maxima, Minima

Zitat:

Original von Lea
Was wäre denn ein geeignetes Kriterium? Hab keine Idee wie ich das richtig zeigen könnte!

Es ist doch schon alles gesagt.
Ich zitiere Dich mal:

"Daraus folgt, dass die Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \frac{1}{e}) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist und im Intervall $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{e}, \infty) \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist."

Also ein Vorzeichenwechsel!

30.04.2009, 10:48

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
[/quote]Im Prinzip ja, allerdings solltest du mit einem geeigneten Kriterium auch zeigen, daß bei 1/e ein lokales Minimum ist.[/quote]
ich dachte ich müsste das noch genauer zeigen.

30.04.2009, 11:09

klarsoweit

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Aus der Existenz einer Nullstelle bei der Ableitung kann man noch nicht folgern, auf welchen Intervallen die Funktion monoton fällt bzw. steigt. Da muß man also noch etwas mehr zu sagen.

30.04.2009, 11:28

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
ich habe um das genau zu überprüfen noch das Vorzeichenwechselkriterium angewandt. Reicht das?
Das heißt es existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} f'(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in I, x_0-\delta<x<x_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in I, x_0<x<x_0+\delta \end{eqnarray*}$
daraus folgt: lokales Minimum

30.04.2009, 11:38

klarsoweit

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Im Prinzip ja, wenn du das richtig gemacht hast. Da du aber nichts hierzu ausgeführt hast, kann ich auch nichts dazu sagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2009, 11:45

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Ich habe ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gewählt, dass kleiner als $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist und eins das größer ist und habe diese in die Ableitung eingesetzt und auf das Vorzeichen geachtet, das dabei rauskam.

30.04.2009, 11:48

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Muss ich auch noch zeigen, dass die Funktion stetig und differenzierbar auf dem $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \end{eqnarray*}$ ist?

30.04.2009, 12:25

klarsoweit

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RE: Monotonie, Maxima, Minima

Zitat:

Original von Lea
Ich habe ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gewählt, dass kleiner als $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist und eins das größer ist und habe diese in die Ableitung eingesetzt und auf das Vorzeichen geachtet, das dabei rauskam.

Das reicht nicht aus. Du mußt das schon für alle x mit x_0 < x < x_0 + delta bzw. x_0 - delta < x < x_0 machen.

Zitat:

Original von Lea
Muss ich auch noch zeigen, dass die Funktion stetig und differenzierbar auf dem $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \end{eqnarray*}$ ist?

Also wenn, dann ist die Funktoin nur differenzierbar auf $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ . Und da du die Ableitung gebildet hast, ist das ja geklärt.

30.04.2009, 12:43

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
[quote]Original von klarsoweit

Das reicht nicht aus. Du mußt das schon für alle x mit x_0 < x < x_0 + delta bzw. x_0 - delta < x < x_0 machen.[quote]

Wie könnte ich das denn am besten zeigen? Weiß nicht so richtig wie ich das machen soll.

30.04.2009, 13:41

klarsoweit

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Du mußt doch nur zeigen, daß $\begin{eqnarray*} x^x \cdot (ln(x) + 1) < 0 \end{eqnarray*}$ für x < 1/e und $\begin{eqnarray*} x^x \cdot (ln(x) + 1) > 0 \end{eqnarray*}$ für x > 1/e ist. und da x^x immer postiv ist, bleibt das ganze an ln(x) + 1 kleben. Und da kann man bequem die Monotonie vom ln nutzen. smile

smile

02.05.2009, 12:24

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Aber der ln ist doch immer monoton steigend oder? erkenne nur noch nicht so ganz was mir das bringt!

02.05.2009, 14:34

klarsoweit

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Für jemanden, der sich im Hochschulbereich tummelt, erstaunt mich die Frage etwas.

Wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} ln(\frac 1 e ) + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Da die ln-Funktion streng monoton steigend ist, folgt sofort, daß $\begin{eqnarray*} ln(x) + 1 < 0 \end{eqnarray*}$ ist für x < 1/e und $\begin{eqnarray*} ln(x) + 1 > 0 \end{eqnarray*}$ ist für x > 1/e.

02.05.2009, 16:51

Lea

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RE: Monotonie, Maxima, Minima
Ja ist klar!!! Vielen Dank für die Hilfe.

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