Spur Sigma Algebra

30.04.2009, 21:25	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur Sigma Algebra Hallo, ich bins mal wieder, weil mich ein Beweis beschäftigt und ich es jetzt wissen muss. Es geht um folgendes. Wir haben eine sigma Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ auf einer MEnge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist eine Teilmenge von Omega. $\begin{eqnarray} \mathcal A_B := B \cap \mathcal A := \{ A \cap B : A \in \mathcal A\} \end{eqnarray}$ definiert dann die Spur sigma Algebra auf $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Denke so war das, hab das ausm Kopf hingeschrieben, weil ich nicht weiß wo die Definition stand. 1. leere Menge ist element dieser Sigma ALgebra ist klar 2. hier gabs dann ein Problem, beim Komplement. Sei $\begin{eqnarray} C \in \mathcal A_B \end{eqnarray}$ , also kann ich C so darstellen $\begin{eqnarray} C = A \cap B \end{eqnarray}$ . Im Grunde muss ich doch zeigen $\begin{eqnarray} C^{c} = B\setminus C \in \mathcal A_B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C^{c} = B \setminus C = B \setminus ( A \cap B) = ... \end{eqnarray}$ Ich müsste doch auf die Form $\begin{eqnarray} B \cap A^{c} \end{eqnarray}$ kommen , was auch gleich aus B\A folgen würde, aber wäre das korrekt. Eventuell hab ich hier auch nen Denkfehler gemacht, hab meine Aufzeichnungen nicht da...
01.05.2009, 11:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen $\begin{eqnarray} C=A\cap B\Rightarrow B\cap C^c=B\cap(A\cap B)^c=^B\cap (A^c \cup B^c)=^{*}(B\cap A^c)\cup (B\cap B^c)=B\cap A^c \end{eqnarray}$ * : de Morgan ** : Distributivgesetz
01.05.2009, 11:49	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen Es hat nicht geklappt weil ich nicht dran dachte , dass $\begin{eqnarray} C^c= B\cap C^c \end{eqnarray}$ ist. Danke schön. In letzter Zeit denk ich irgendwie öfters über so ein paar Anmerkungen nach die ich irgendwo gelesen hab.
01.05.2009, 13:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur Sigma Algebra äh . . nein . so einfach ist es dann doch nicht. Es ist $\begin{eqnarray} B\setminus C=B\cap C^c \end{eqnarray}$ , außerdem gilt $\begin{eqnarray} A\in\mathcal A\Rightarrow A^c\in\mathcal A \end{eqnarray}$ . Also gilt $\begin{eqnarray} C\in\mathcal A_B\Rightarrow C=A\cap B\Rightarrow B\setminus C=... =B\cap A^c\in\mathcal A_B \end{eqnarray}$

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