Nullstellen eines Polynoms

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JensO Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen eines Polynoms
Hi, ich habe folgende Aufgabe vor mir, weiss aber nicht so recht wie ich die lösen soll.

Ich habe ja ein normiertes Polynom gegeben, dessen Koeffizienten ganzzahlig sind.



Die Nullstellen müssen ja Teiler von sein. hat als Teiler dann auch nur ganze Zahlen.

Aber irgendwie bekomme ich das zusammen mit dem Hinweis nicht in einen ordentlich Zusammenhang.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen eines Polynoms
Hi JensO,

Zitat:
Original von JensO
Die Nullstellen müssen ja Teiler von sein. hat als Teiler dann auch nur ganze Zahlen.

Wir befinden uns aber jetzt in den rationalen Zahlen und in diesen wird jede Zahl von jeder anderen geteilt (mit Ausnahme von Null).

Gehe doch lieber mal dem Tipp nach und setze y in das Polynom ein. Wenn Du dann mit dem Hauptnenner durchmultiplizierst, erhältst Du eine Gleichung in , die Du zum Widerspruch führen kannst.

Gruß,
Reksilat.
JensO Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich sage, dass y meine Nullstelle ist dann setze ich y ins Polynom ein:





Nun schreibe ich :



Aber durch b teilen kann ich doch jetzt nicht, da jedes b doch andere Potenzen hat, oder? Bzw. was würde mir das bringen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere mit
JensO Auf diesen Beitrag antworten »





nun multiplizieren mit :




Aber ich sehe den Widerspruch noch nicht >.<
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabe steht nicht umsonst, dass gekürzt ist. D.h. a und b haben keinen gemeinsamen Teiler.

Siehst du es jetzt?
 
 
JensO Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm... immer noch nicht wirklich... was wäre denn der unterschied in der letzten Gleichung, wenn a und b einen gemeinsamen Teiler hätten?

Oder heißt es, dass wenn b nicht 1 ist, dann wäre y auch keine Nullstelle vom Polynom?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JensO
Oder heißt es, dass wenn b nicht 1 ist, dann wäre y auch keine Nullstelle vom Polynom?


Dass es das heißt, sollst du ja gerade zeigen...


Da steht doch quasi . (R ist der Rest, der ganzzahlig ist). Wie soll das denn gehen, wenn a und b teilerfremd sind?
JensO Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das ich nochmal nachfragen muss, aber irgendwie hakt es noch bei mir.

Teilerfremd heißt ja, dass es außer der 1 keine natürliche Zahl gibt, die die zwei Zahlen a und b teilt.

Ich versuche es mal an einem Beispiel:

Polynom:

Nun setze ich ein:

Nun mal



Den ganzzahligen Rest benenne ich dann zu R um:



Und die letzte Gleichung kann dann nur 0 ergeben, wenn a=b oder b=1; a=b kann aber nicht angehen, da a und b teilerfremd. Muss man noch mehr zeigen, oder reicht es so?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du da?

Um auf die Form a+bR=0 zu kommen, musst du b ausklammern...
JensO Auf diesen Beitrag antworten »

Ups... auf das Beispiel bezogen dann:






Meinste so?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.

Jetzt kannst du zur Deutlichkeit noch auf die andere Seite bringen. Die Gleichheit ist dann offensichtlich falsch.
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