Polynomdivison über einem Ring?

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Felix Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivison über einem Ring?
Für Polynome f,g über einem Körper K gilt: Es gibt eindeutig bestimmte Polynome q und r mit

Meine Frage: Gilt dies auch über jedem Ring? Ich habe mir den Beweis nocheinmal durchgesehen und konnte keine Stelle entdecken, an der die Existenz eines neutralen/inversen Elements oder die Kommutativität (der Multiplikation) angewendet wurde.
Nun wollte ich aber noch eine Bestätigung haben, ich könnte ja auch etwas übersehen haben.

lg
DGU Auf diesen Beitrag antworten »

Die angegebene Eigenschaft charakterisiert einen euklidischen Ring. Insbesondere sind solche Hauptidealringe. Allerdings ist R = Z[X] kein Hauptidealring (nimm z.B. das Ideal, das von 2 und X erzeugt wird), also nicht euklidisch. Über einem Körper anstatt über Z wäre (2,X) = (1) = R.
 
 
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, dann hab ich wohl etwas übersehen.

Zitat:
Die angegebene Eigenschaft charakterisiert einen euklidischen Ring. Insbesondere sind solche Hauptidealringe.


Ja, das dieser Ring dann ein Hauptidealring ist folgt daraus (darum ist es mir auch gegangen). Welche Eigenschaften fehlen einem beliebigen Ring den um ein Hauptidealring zu sein ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Welche Eigenschaften fehlen einem beliebigen Ring den um ein Hauptidealring zu sein ?

Das kann man nicht pauschal beantworten. Einem beliebigen Ring, der nicht Hauptidealring ist, fehlt einfach die Eigenschaft, dass alle Ideale Hauptideale sind (das ist einfach nur die Definition).

Der Polynomring über einem kommutativen Ring ist genau dann ein Hauptidealring, wenn ein Körper ist.

Im Übrigen sollte in dem Beweis doch dividiert werden. Sieh bitte noch einmal nach oder schildere uns deinen Beweis, falls das nicht der Fall sein sollte.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Das kann man nicht pauschal beantworten. Einem beliebigen Ring, der nicht Hauptidealring ist, fehlt einfach die Eigenschaft, dass alle Ideale Hauptideale sind (das ist einfach nur die Definition).


Mein Frage war falsch gestellt. Was ich eigentlich wissen wollte:

Jeder Körper ist ein euklidscher Ring. Welche der 3 Eigenschaften (inverses/neutrales Element, Kommutativität) die ein Körper im Vergleich zu einem allgemeinen Ring mehr hat, ist dabei ausschlaggebend ?

Zitat:
Der Polynomring über einem kommutativen Ring ist genau dann ein Hauptidealring, wenn ein Körper ist.


Das dürfte meine Frage dann wohl auch beantworten (alle 3 verwirrt )

Zitat:
Im Übrigen sollte in dem Beweis doch dividiert werden. Sieh bitte noch einmal nach oder schildere uns deinen Beweis, falls das nicht der Fall sein sollte.


Hier handelt es sich nur sehr indirekt um eine Aufgabe. Meine eigentliche Aufgabe war folgende:

Sei z eine komplexe Zahl. Dann ist die Menge aller Polynome f über mit ein Ideal von .

Diesen Teil hatte ich schon bewiesen. Im 2ten Teil sollte ich allerdings für den Fall z=i ein erzeugendes Element dieses Ideals angeben.

Hier habe ich mir dann die Frage gestellt warum man annehmen kann, dass dieses Ideal ein Hauptideal ist. So bin ich auf meine Fragen gekommen ...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist ein Körper ein euklidischer Ring ??? In einem Körper kann man ohne Rest durch jedes von 0 verschiedene Element dividieren.
Ein Polynomring über einem Körper ist ein euklidischer Ring, weil der "Euklidische Algorithmus" mit der Gradabbildung d=grad(f) funktioniert.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich auch gemeint ...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Welche der 3 Eigenschaften (inverses/neutrales Element, Kommutativität) die ein Körper im Vergleich zu einem allgemeinen Ring mehr hat, ist dabei ausschlaggebend ?

Polynomringe bildet man i.A. nur über kommutativen Ringen und der Polynomring ist dann automatisch kommutativ. Nun gilt:



.

Also folgt



Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Damit ein Integritätsring ist, muss also auch ein solcher sein. Ist sogar ein Körper, so ist dann auch jedes Ideal in ein Hauptideal. Man braucht also alle drei Eigenschaften.

Zitat:
Original von Felix
Zitat:
Im Übrigen sollte in dem Beweis doch dividiert werden. Sieh bitte noch einmal nach oder schildere uns deinen Beweis, falls das nicht der Fall sein sollte.


Hier handelt es sich nur sehr indirekt um eine Aufgabe.

Du meintest oben, du wärst den Beweis für die Aussage, dass ein Polynomring über einem Körper euklidisch ist, durchgegangen und hättest keine Division gesehen. Nur darauf hab ich mich bezogen. Wie sieht denn der Beweis aus?

Zitat:
Original von Felix
Sei z eine komplexe Zahl. Dann ist die Menge aller Polynome f über mit ein Ideal von .

Diesen Teil hatte ich schon bewiesen. Im 2ten Teil sollte ich allerdings für den Fall z=i ein erzeugendes Element dieses Ideals angeben.

Soll sein? Die Aufgabe "Geben Sie ein erzeugendes Element für das Ideal an" kann ja auch in Nicht-HIR gestellt werden. Dann soll man halt mit der Aufgabe zeigen, dass dieses Ideal ein Hauptideal ist und ein erzeugendes Element angeben.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Soll sein? Die Aufgabe "Geben Sie ein erzeugendes Element für das Ideal an" kann ja auch in Nicht-HIR gestellt werden. Dann soll man halt mit der Aufgabe zeigen, dass dieses Ideal ein Hauptideal ist und ein erzeugendes Element angeben.


Nein R ist ein Ring. Dann wirst du wohl recht haben, damit, dass man zeigen soll dass das Ideal ein Hauptideal ist. Die Aufgabenstellung ist nur so formuliert, dass ich dachte es wäre in jedem Fall so ...

Zitat:
Du meintest oben, du wärst den Beweis für die Aussage, dass ein Polynomring über einem Körper euklidisch ist, durchgegangen und hättest keine Division gesehen. Nur darauf hab ich mich bezogen. Wie sieht denn der Beweis aus?


Über Induktion nach . Habe jetzt entdeckt, dass der Induktionsanfang die Existenz des inversen Elements der Multiplikation voraussetzt(f=qg wobei alle Polynome den Grad 0 haben und somit Elemente des Rings sind). Außerdem wird im Induktionsschritt die Gradformel für Polynome angewandt, die Nullteilerfreiheit also die Existenz eines inversen Elements voraussetzt.

Der Induktionsschritt läuft folgendermaßen ab:

g hat einen Grad kleiner-gleich f (ansonsten f=r). Nun multipliziert man mit wobei , . Wenn man dieses Polynom noch mit einem geiegnetem Körperelement multipliziert erhält man ein Polynom vom Grad n das be den gleichen Koeffizienten wie hat. Daher ist ein Polynom dessen Grad kleiner n ist. Also können wir auf die Induktionsannahme anwenden:

Man erhält
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Nein R ist ein Ring.

Beliebig kann der aber nicht sein. Um eine komplexe Zahl in das Polynom einzusetzen, muss man ja irgendeine sinnvolle Multiplikation von Ringelementen aus und komplexen Zahlen haben.

Zitat:
Original von Felix
Außerdem wird im Induktionsschritt die Gradformel für Polynome angewandt, die Nullteilerfreiheit also die Existenz eines inversen Elements voraussetzt.

Nullteilerfreiheit ist nicht das Gleiche wie die Existenz eines Inversen! Es gibt nullteilerfreie Ringe, in denen keine Inversen existieren! Es gibt sogar nullteilerfreie Ringe ohne Eins, in denen also Inverse nicht einmal definiert werden können.

Zitat:
Original von Felix
Nun multipliziert man mit wobei , . Wenn man dieses Polynom noch mit einem geiegnetem Körperelement multipliziert erhält man ein Polynom vom Grad n das be den gleichen Koeffizienten wie hat.

Und was für ein Element ist das wohl? Sei



.

Dann ist das obige gerade gegeben durch , noch eine Division!
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Beliebig kann der aber nicht sein. Um eine komplexe Zahl in das Polynom einzusetzen, muss man ja irgendeine sinnvolle Multiplikation von Ringelementen aus und komplexen Zahlen haben.


Es ist doch die Menge der reelen Zahlen gemeint, da hab ich den feinen Unterschied zwischen fettgedruckt und nicht-fettgedruckt wohl übersehen.

Zitat:
Und was für ein Element ist das wohl? Sei . Dann ist das obige gerade gegeben durch , noch eine Division!


Hmm, dass heißt dann wohl, dass die Existenz eines inversen und damit auch eines neutralen Elements gegeben sein muss. Ich finde aber keine Stelle an der man die Kommutativität eines Körpers benutzt verwirrt
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivison über einem Ring?
Zitat:
Original von Felix
Für Polynome f,g über einem Körper K gilt: Es gibt eindeutig bestimmte Polynome q und r mit

Meine Frage: Gilt dies auch über jedem Ring? Ich habe mir den Beweis nocheinmal durchgesehen und konnte keine Stelle entdecken, an der die Existenz eines neutralen/inversen Elements oder die Kommutativität (der Multiplikation) angewendet wurde.
Nun wollte ich aber noch eine Bestätigung haben, ich könnte ja auch etwas übersehen haben.

lg

Das einzige, was im Beweis verwendet wird, ist, dass der höchste Koeffizient von g eine Einheit ist. Mit dieser Voraussetzung stimmt die Aussage über jedem Ring (kommutativ mit 1).
Felix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivison über einem Ring?
Zitat:
Original von gast1
Das einzige, was im Beweis verwendet wird, ist, dass der höchste Koeffizient von g eine Einheit ist. Mit dieser Voraussetzung stimmt die Aussage über jedem Ring (kommutativ mit 1).


Was meinst du mit eine Einheit? Was mich interessieren würde, ist an welcher Stelle in diesem Beweis die Kommutativität eines Körpers bezüglich der Multiplikation verwendet wird ?

lg
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Einheit ist ein multiplikativ invertierbares Element. Ich denke, die Kommutativität wird nicht benötigt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt genau, es gilt der Satz:
Sei ein Ring und ein Polynom, dessen höchster Koeffizient eine Einheit ist. Dann gibt es zu jedem eindeutig bestimmte Polynome mit .

Folgerung 1: Da für einen Schiefkörper jedes Element eine Einheit ist, ist euklidisch.

Folgerung 2: Das gilt insbesondere für über einem Körper .
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dann auch jeder Polynomring über einem Schiefkörper ein Hauptidealring ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

JA.
Satz: Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
Satz: Jeder Hauptidealring ist noethersch.
Satz: Jeder Hauptidealring ist faktoriell.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Danke Freude
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