vollständige Induktion

02.05.2009, 13:08	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion Hi Leute! In der Analysis I habe ich folgende Aufgabenstellung zur vollständigen Induktion bekommen, bei der ich beim Beweis einfach nicht weiter komm. Zu beweisen soll die Aussage folgender Gleichung sein: $\begin{eqnarray} 2^n>n \end{eqnarray}$ Indunktionsanfang: n=1 $\begin{eqnarray} 2^1>1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2>1 \end{eqnarray}$ wahre Aussage Indunktionsvoraussetzung: Die Behauptung soll für ein frei wählbares, beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gelten. Induktionsbehauptung: $\begin{eqnarray} A(n) \Rightarrow A(n+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^{(n+1)} > (n+1) \end{eqnarray}$ Induktionsbeweis: Hier hätte ich jetzt geschrieben: $\begin{eqnarray} 1+2+4+8+16+...+2^n+2^{n+1} >1+2+3+...+n+(n+1) \end{eqnarray}$ und jetzt? $\begin{eqnarray} 2^n + 2^{n+1} > n + (n+1) \end{eqnarray}$ ?? Danke schonmal für eure Hilfe! Gruß
02.05.2009, 13:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier liegt der Fehler vor, dass du mit der Behauptung anfängst und daraus irgendetwas folgern willst... Du musst es aber andersrum machen. Du gehst von der Vorraussetzung aus. Die ist in diesem Fall $\begin{eqnarray} 2^n > n \end{eqnarray}$ . Und daraus musst du nun folgern, dass $\begin{eqnarray} 2^{n+1}>n+1 \end{eqnarray}$ gilt. Dazu multiplizierst du am besten die Vorraussetzung einfach mal mit 2.
02.05.2009, 13:20	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
ok..hmm..also meine voraussetzung lautet ja: $\begin{eqnarray} 2^n > n \| \cdot 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^{n+1} > 2n \end{eqnarray}$ warum kann ich das einfach "mal 2" nehmen?
02.05.2009, 13:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch bekannt (Du gehst doch auf die Uni), dass man Ungleichungen mit positiven Zahlen multiplizieren kann. Wenn du es genau wissen willst: http://de.wikipedia.org/wiki/Geordneter_K%C3%B6rper
02.05.2009, 13:29	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt...jetzt kommts mir langsam wieder ins gedächtnis also hab ich ja nun: $\begin{eqnarray} 2^{n+1} > 2n \end{eqnarray}$ und ich möchte zu: $\begin{eqnarray} 2^{n+1} > n+1 \end{eqnarray}$ kommen. Die linke Seite stimmt ja nun schonmal, nur die rechte Seite muss ich noch irgendwie "bearbeiten"...aber wie?
02.05.2009, 13:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wirst ja wohl dazu in der Lage sein, die Ungleichung $\begin{eqnarray} 2n \geq n+1 \end{eqnarray}$ zu beweisen.
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