Steckbriefaufgabe

02.05.2009, 15:41

Dalice66

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Steckbriefaufgabe

Moin Leute,
ich habe eine Steckbriefaufgabe, bei der mein Ergebnis falsch sein soll. Ich finde den Fehler aber nicht...

Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat die Nullstellen x = - 1 und x = 3. Zwischen diesen Nullstellen schließt sie mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt 10 2/3 FE ein.

-ganzrationale Funktion zweiten Grades:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2_{a2}+x_{a1}+a0 \end{eqnarray*}$

-Nullstellen x = - 1 und x = 3

$\begin{eqnarray*} f(-1)=0 & f(3)=0 \end{eqnarray*}$

-Zwischen diesen Nullstellen schließt sie mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt 10 2/3 FE ein

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^3f(x)dx=[(\frac{1}{3} *27_{a2}+\frac{1}{2} *9_{a1}+3_{a0})-(-\frac{1}{3}_{a2}+\frac{1}{2}_{a1}-a0)]=10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Ich persönlich halte diese Flächenaufstellung für meine Fehlerquelle, oder auch nicht... geschockt

geschockt

Es ergibt sich folgendes Gauss-System:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_2 - a_1 + a_0=0 \\ 9a_2 + 3a_1 + a_0=0 \\ 14a_2 + 6a_1 + 3a_0=16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist bis hierhin noch alles richtig?

02.05.2009, 15:48

klarsoweit

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RE: Steckbriefaufgabe

Zitat:

Original von Dalice66
-ganzrationale Funktion zweiten Grades:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2_{a2}+x_{a1}+a0 \end{eqnarray*}$

Ein merkwürdiger Ansatz für ein Polynom 2. Grades. Ich hätte da eher sowas erwartet:
$\begin{eqnarray*} f(x) = a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 \end{eqnarray*}$

Da aber die Nullstellen vorgegeben sind, wäre das viel geeigneter:
$\begin{eqnarray*} f(x) = a \cdot (x+1) \cdot (x-3) \end{eqnarray*}$

Damit solltest du nochmal das Integral rechnen.

02.05.2009, 15:59

hxh

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wie kommst du auf die letzte ZEile in deiner Matrix.

Der Weg von Klarsoweit ist wohl der einfachste hier.

02.05.2009, 18:54

Dalice66

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Hi,
indem ich den ganzen Schei* in meine Aufleitung eingesetzt habe...(siehe Aufleitung)
Man berechnet doch den Inhalt dieser Fläche an den Schnittpunkten der X-Achse und die sind 3 und -1, oder?

@ Klarsoweit:

Magst du mir mal deine Formel erklären, ich kann die nicht so ganz nachvollziehen. Für die Berechnung von Flächen kenne ich nur die 1. Aufleitung, 2. Ersten (höheren) Schnittpunkt der x-Achse in Aufleitung einsetzen und 3. danach zweiten (kleineren) x-Achsenwert davon abziehen.

02.05.2009, 19:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
@ Klarsoweit:

Magst du mir mal deine Formel erklären, ich kann die nicht so ganz nachvollziehen.

Mein Ansatz ist ein Polynom 2. Grades und hat genau die beiden geforderten Nullstellen.

Zitat:

Original von Dalice66
Für die Berechnung von Flächen kenne ich nur die 1. Aufleitung

Das ist richtig. Deswegen mußt du ja auch meinen Ansatz integrieren, und dann den Parameter a so wählen, daß die geforderte Fläche rauskommt.

Und bitte verzichte auf das Wort "Aufleitung". Oder ist etwas aufhören das Gegenteil von abhören oder aufführen das Gegenteil von abführen?

02.05.2009, 19:11

Dalice66

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Na,
dann will ich mal deine Formel ausrechnen...

$\begin{eqnarray*} ax^2-2ax-3a \end{eqnarray*}$

Ok, das deckt sich mit dem, was du als Erwartung geschrieben hast. Aber wenn man genau hinschaut, dann ist meins doch das Gleiche, nur habe ich zuerst xa2, statt a2x geschrieben. Ich sehe gerade, dass sich das nicht mit meinem Geschreibsel deckt...

Deine Formel intigriert ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}ax^3-ax^2-3ax \end{eqnarray*}$

Muss ich den Kram nun, ähnlich zu meinem, nicht mit den Zahlen 3 und -1 "auffüllen"?

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02.05.2009, 20:39

hxh

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verstehe die letzte Zeile deiner Matrix immer noch nicht ^^
zb. die 14a2
du hast einmal 9a2 + 1/3 a2 = 28/3 a2 was ungleich 14a2 ist

02.05.2009, 20:44

Dalice66

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Hi,
du hast Recht. Ich weiß nicht, wie ich so einen S*?%$§ rechnen kann. Der zweite Wert ist ja auch falsch... Hammer

Hammer

Ich gehe das Ganze nochmal durch traurig

traurig

03.05.2009, 09:48

Dalice66

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So,
ich habe nochmal alles durchgerechnet und was soll ich sagen...alles falsch unglücklich

unglücklich

Hier die Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^3a2-x^2a1-3xa0 \end{eqnarray*}$

Die Formel habe ich jetzt in mein Integral eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^3f(x)dx=[(\frac{1}{3}3^3a2-3^2a1-3*3a0)-(\frac{1}{3}(-1)^3a2-(-1)^2a1-3(-1)a0)]=10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^3f(x)dx=[(9a2-9a1-9a0)-(-\frac{1}{3}a2-a1+3a0)]=10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Soweit noch ok?

03.05.2009, 11:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
Deine Formel intigriert ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}ax^3-ax^2-3ax \end{eqnarray*}$

Muss ich den Kram nun, ähnlich zu meinem, nicht mit den Zahlen 3 und -1 "auffüllen"?

Was heißt "auffüllen"? verwirrt

verwirrt

Du mußt die Grenzen in die Stammfunktion einsetzen und damit die Fläche berechnen. Du machst es dir wirklich selber schwer. unglücklich

unglücklich

03.05.2009, 11:57

hxh

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ne wieso haste übehaupt 3 Variablen wieder da drin ?

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{3}~a*(x+1)*(x-3)~dx =[a(\frac{1}{3}x^3-x^2-3x)]_{-1}^{3} =\frac{20}{3} \end{eqnarray*}$ das nun berechenen und nach a auflösen.

03.05.2009, 14:51

Dalice66

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Moin,
mal was Grundsätzliches:

Um den Flächeninhalt herauszubekommen, muss ich doch den kleineren x-Wert, hier -1, vom größeren x-Wert, x=3, abziehen. Es geht mir nicht nur um den Flächeninhalt vor dem Hintergrund einer Parabelschar oder Ähnliches. Ich soll eine Funktion 2ten Grades ermitteln. Da ich die Werte aber nicht habe, muss ich diese mit dem Gauss-Verfahren ermitteln, deswegen a1, a2, a3. In der Schule haben wir etwas Ähnliches gemacht, auch mit drei Variablen. Meine ersten beiden Gauss-Glieder habe ich ja schon. Ich denke auch, dass die sind richtig sind. Wenn ich jetzt für x 3 und -1 einsetze, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^3f(x)dx=[(9a2-9a1-9a0)-(-\frac{1}{3}a2-a1+3a0)]=10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^3f(x)dx=(9\frac{1}{3}a2-8a1-12a0)=10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{28}{3}a2-8a1-12a0=\frac{20}{3} \end{eqnarray*}$

ähhm...

ich merke gerade, dass ich bei meiner alten Rechnung am Ende [...]= 32/3 ausgerechnet hatte und nicht 20/3.. Gott

Gott

Das Ganze mit 3 multiplizieren, um die Brüche wegzubekommen...

$\begin{eqnarray*} 28a2-24a1-36a0=20|:4 \end{eqnarray*}$

vereinfachen

$\begin{eqnarray*} 7a2-6a1-9a0=5 \end{eqnarray*}$

Ist das denn jetzt die letzte Komponente für meine Gauss-Matrix?

03.05.2009, 15:04

klarsoweit

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Schade, daß du dich strikt weigerst, meinen Vorschlag zu akzeptieren. Aber bitte, dann mußt du eben selbst sehen, wie du klar kommst.

03.05.2009, 15:28

Dalice66

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Aber das habe ich doch gemacht...

Ich habe doch die 3 und die -1 als Grenze integriert...

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{3}~a*(x+1)*(x-3)~dx =[a(\frac{1}{3}x^3-x^2-3)]_{-1}^{3} =\frac{20}{3} \end{eqnarray*}$

Kann ich noch nachvollziehen

Nach dem Einsetzen komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^3f(x)dx=[(9a2-9a1-9a0)-(-\frac{1}{3}a2-a1+3a0)]=10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Ist das denn schon verkehrt?

Ich habe nochmal deine Version gerechnet und komme auf

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{3}~a*(x+1)*(x-3)~dx =[a(\frac{1}{3}x^3-x^2-3)]_{-1}^{3} =\frac{20}{3}=a*(\frac{27}{3}-9-3+\frac{1}{3}+1+3)=\frac{20}{3} \end{eqnarray*}$

03.05.2009, 17:09

hxh

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$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{3}~a*(x+1)*(x-3)~dx =[a(\frac{1}{3}x^3-x^2-3x)]_{-1}^{3} = a(9 -9 +9 - (-\frac{1}{3}-1+3)) = a(\frac{22}{3}) = \frac{20}{3} \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} a= \frac{10}{11} \end{eqnarray*}$

die Funktion sieht so aus zeichne sie und du siehst sie stimm $\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{10}{11} (x+1)(x-3) \end{eqnarray*}$

03.05.2009, 19:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
Nach dem Einsetzen komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^3f(x)dx=[(9a2-9a1-9a0)-(-\frac{1}{3}a2-a1+3a0)]=10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Ist das denn schon verkehrt?

Wenn du mit meinem Ansatz gerechnet hättest, könnten nicht die Parameter a2, a1 und a0 auftauchen. Die sind nämlich in meinem Ansatz gar nicht drin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2009, 12:52

Dalice66

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Moin,
natürlich hast du Recht. Ich danke allen für ihre ausführliche Hilfe und werde die Funktion übernehmen...

Wink

Wink

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