Quotientenvektorraum endl. => VR endl. ?

02.05.2009, 16:32	kako	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenvektorraum endl. => VR endl. ? Hallo, ich habe eine Frage zur Dimensionsformel bei Quotientenvektorräumen: Angenommen ich weiß, dass der Quotientenvektorraum V/U endlich-dimensional ist, habe aber keine Informationen, ob V endlich oder unendlich ist. Kann ich dann aus der Dimensionsformel auch die 'Rückimplikation' folgern, also V/U endlich => V endlich (und dann natürlich auch U)? Nach Dimensionsformel gilt ja nur die 'andere' Richtung, also V und U sind endlich-dimensional, woraus folgt, dass auch V/U endlich ist. Herzlichen Dank schonmal für eure Hinweise. LG kako
02.05.2009, 17:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das geht nicht. Nimm z.B. den Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ aller Polynome mit reellen Koeffizienten und dort den Untervektorraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ aller Polynome $\begin{eqnarray} f\in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ . Dann sind $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ unendlich-dimensional, aber es ist $\begin{eqnarray} V/U\simeq\mathbb R \end{eqnarray}$ , also eindimensional.
02.05.2009, 18:10	kako	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ich hatte mir fast schon gedacht, dass die Rückimplikation nicht funktioniert.
02.05.2009, 18:52	schmiddy	Auf diesen Beitrag antworten »

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