Primideal 2

02.05.2009, 16:43

C.Pistorius

Primideal 2

Hi Ihr,

folgende Übungsaufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, $\begin{eqnarray*} R=K\left[ X_{1}, \dots , X_{n}\right] \end{eqnarray*}$ der Polynomring über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ in diesen den Unbestimmten $\begin{eqnarray*} X_{1}, \dots , X_{n} \end{eqnarray*}$ . Zeige: Ist $\begin{eqnarray*} A = (a_{ij}) \in Mat(m\times n,K) \end{eqnarray*}$ eine Matrix, so ist das Ideal $\begin{eqnarray*} I=(f_{1}, \dots , f_{m}) \end{eqnarray*}$ welches von den Elementen $\begin{eqnarray*} f_{i}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}X_{j} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} i=1, \dots , m \end{eqnarray*}$ erzeugt ist, ein Primideal

Ich habe hier ein bisschen rumprobiert, vermute aber doch, dass der Lösungsansatz auch mit der Tatsache zu tun haben muss, dass eine Matrix vorliegt und komme nicht weiter. Oder ist die Matrix egal, weil man doch beliebige Einträge wählen kann?

Dank und LG,
C.

03.05.2009, 13:01

C.Pistorius

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Hi,

hat keiner eine Idee?

Liebe Grüße,
C.

04.05.2009, 13:38

Reksilat

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Hi C.,

Die Aufgabe lässt sich per Induktion nach n erledigen. Der Induktionsanfang ist nicht weiter schwer, da wir dann nur $\begin{eqnarray*} I=(f_1) \end{eqnarray*}$ haben, wobei ja $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist.

Für den Induktionsschritt folgende Idee:
- $\begin{eqnarray*} (f_1) \end{eqnarray*}$ ist per IV Primideal.
- sei $\begin{eqnarray*} rs\in (f_1,f_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} rs\not\in (f_1) \end{eqnarray*}$
- da $\begin{eqnarray*} R/(f_1) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, gibt es ein Polynom $\begin{eqnarray*} u\in R \end{eqnarray*}$ , das im Körper das multiplikativ Inverse zu $\begin{eqnarray*} rs \end{eqnarray*}$ bildet, also $\begin{eqnarray*} rsu=1+(...)f_1 \end{eqnarray*}$

Das sollte erstmal als Anreiz genügen.

Gruß,
Reksilat.

05.05.2009, 07:27

C.Pistorius

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Hi Du,

danke, ich habe es inzwischen auch schon mit Induktion versucht, aber konnte nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, kannst Du mir da noch helfen?

Liebe Grüße,
C.

05.05.2009, 07:43

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ ist ein lineares(!) Polynom. Versuche doch mal ein lineares Polynom als Produkt zweier Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ darzustellen.

(Auch Polynome in mehreren Variablen haben einen Grad: $\begin{eqnarray*} \prod X_i^{a_i} \end{eqnarray*}$ hat den Grad $\begin{eqnarray*} \sum a_i \end{eqnarray*}$ und ein beliebiges Polynom hat dann als Grad den Grad des höchsten Monoms. Damit sollte es kein Problem sein.)

Gruß,
Reksilat.

05.05.2009, 16:31

Mathespezialschüler

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Hallo Reksilat!
Deiner Beweisstruktur zufolge willst du eine Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ machen, nicht über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

Zitat:

Original von Reksilat
- da $\begin{eqnarray*} R/(f_1) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist

Warum ist das ein Körper? $\begin{eqnarray*} (f_1) \end{eqnarray*}$ ist doch i.A. kein Maximalideal.

05.05.2009, 19:49

Reksilat

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Hast Recht, war natürlich völliger Unsinn! Entschuldigung - und danke für den Hinweis.

Gruß,
Reksilat.

05.05.2009, 21:03

Reksilat

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So, jetzt müsste ich eine korrekte Lösung erarbeitet haben. Ich versuche mal nicht zu viel zu verraten:
Also, es läuft wieder per Induktion nach $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ (das war auch oben gemeint smile

) und wir beobachten zuerst, dass elementare Zeilenumformungen der Matrix das erzeugte Ideal nicht ändern. Damit können wir oBdA annehmen, dass $\begin{eqnarray*} f_m \end{eqnarray*}$ das einzige Polynom ist, das $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ enthält (Gauß!).

Nun sei $\begin{eqnarray*} r\cdot s\in I \end{eqnarray*}$ , es ist zu zeigen, dass einer der beiden Faktoren in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ liegt.
Dazu gehen wir in den Faktorring $\begin{eqnarray*} R/I \end{eqnarray*}$ , wo wir uns $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -freie Polynome $\begin{eqnarray*} s_1,r_1 \end{eqnarray*}$ konstruieren, mit $\begin{eqnarray*} s+I=s_1+I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r+I=r_1+I \end{eqnarray*}$ .

Hier setzt dann irgendwo die Induktion ein, genaueres sage ich aber nicht, da ich niemandem den Spaß verderben will.

Gruß,
Reksilat.

PS: Ich hoffe mal, dass das soweit funktioniert, denn andernfalls muss ich mir ein tiefes Loch graben und darin so lange bei Wasser und Brot ausharren, bis mir solch Unsinn wie dort oben endgültig ausgetrieben ist.

05.05.2009, 21:47

C.Pistorius

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HI IHr alle,

danke für Eure Hinweise. Ich werde mein bestes geben, aber denke, dass es so klappen sollte =)

Liebe GRüße und Ihr seid toll!
C.

05.05.2009, 23:09

Mathespezialschüler

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@Reksilat
Ein schöner und unerwartet einfacher Beweis! Ich bin etwas überrascht, dass es doch so einfach geht. smile

06.05.2009, 09:58

Reksilat

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Dankeschön! Jetzt muss ich doch nicht in die dunkle Grube.
Tanzen