Schreibweise gesucht: Variablenersetzung

03.05.2009, 09:25

Jacques

Schreibweise gesucht: Variablenersetzung

Hallo,

Ich suche eine übliche Schreibweise für „ersetze die Variable x durch den Ausdruck a, nachdem das Integral/die Ableitung ... berechnet wurde“.

Konkret geht es darum, wie man die Integration durch Substitution bei einem unbestimmten Integral vernünftig aufschreiben kann. Die Schreibweise bei z. B. Wikipedia finde ich nicht ganz einleuchtend.

Ginge es eventuell so:?

$\begin{eqnarray*} \int f(g(x)) g^{\prime}(x) \, \mathrm{d}x = \left. \int f(z) \, \mathrm{d}z\right|_{z = g(x)} \end{eqnarray*}$

Bei der df(x)/dx-Schreibweise von Ableitungen wird ein ähnliches Symbol benutzt, und ich dachte, das hat genau diese Bedeutung.

Viele Grüße

Jacques

03.05.2009, 09:46

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Bei unbestimmten Integralen ist das überhaupt nicht in vernünftiger Weise möglich - bei bestimmten Integralen dagegen schon:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b ~ f(g(x)) g'(x) ~ \dd x = \int\limits_{g(a)}^{g(b)} ~ f(z) ~ \dd z \end{eqnarray*}$

03.05.2009, 10:20

Jacques

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Hm, bei bestimmten Integralen ist es klar, aber bei unbestimmten Integralen gilt die Regel doch auch?

Bei Wikipedia wird das einfach in Worten formuliert:

Zitat:

Original von Wikipedia

$\begin{eqnarray*} \int f(x)\, \mathrm{d}x = \int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.

Kann man das gar nicht in Symbolen ausdrücken?

03.05.2009, 11:46

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Zitat:

Original von Jacques
Hm, bei bestimmten Integralen ist es klar, aber bei unbestimmten Integralen gilt die Regel doch auch?

Richtig - aber trotzdem sie sehr verbreitet ist, so ist die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \int ~ f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ doch eben nur bedingt geeignet, eine Stammfunktion (= unbestimmtes Integral) von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auszudrücken. Sie steht nämlich symbolisch im Widerspruch zur Schreibweise bei bestimmten Integralen: Bei letzteren ist es völlig egal, ob man

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b ~ f(x) ~ \dd x = \int\limits_a^b ~ f(u) ~ \dd u = \int\limits_a^b ~ f(\xi) ~ \dd \xi \end{eqnarray*}$

schreibt, die Integrationsvariable ist völlig frei wählbar, solange sie nicht mit anderen verwendeten Bezeichnungen kollidiert - genau wie der Summenindex bei Summen

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{\nu=1}^n a_{\nu} \end{eqnarray*}$ .

Bei der Schreibweise $\begin{eqnarray*} F(x) = \int ~ f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ist das offenbar anders, da ist die Integrationsvariable gleichzeitig Funktionsargunment, was dann aber eben zu den hier besprochenen Problemen führt. Von dem Ärger der nicht eindeutigen Definition wegen der unklar gelassenen Integrationsvariable mal ganz zu schreiben. Deswegen mein Ratschlag: Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \int ~ f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ vermeiden, soweit es eben geht.

03.05.2009, 16:48

Jacques

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Hmm, und wenn man das unbestimmte Integral als Menge aller Stammfunktionen definiert?

$\begin{eqnarray*} \int f(x)\,\mathrm{d}x = \{ F + c \,|\, c \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$
(F ist irgendeine Stammfunktion)

Dann hieße

$\begin{eqnarray*} \int f(g(x)) g^{\prime}(x) \, \mathrm{d}x = \left. \int f(z) \, \mathrm{d}z\right|_{z = g(x)} \end{eqnarray*}$

ja einfach „die Menge aller Stammfunktionen von f o g' ist die Menge aller Stammfunktionen von f, bei denen man die Argumentvariable z durch g(x) ersetzt“

Ginge es so?

03.05.2009, 17:08

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Wie gesagt, es ist ein reines Symbolproblem, kein inhaltliches. Wenn du es so willst, kannst du es so formulieren.

Wahrscheinlich sträube ich mich so gegen das $\begin{eqnarray*} \int ~ f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , weil es symbolmäßig dann auch noch mit dem Lebesgue-Integral $\begin{eqnarray*} \int ~ f ~ \dd\mu \end{eqnarray*}$ kollidiert. Augenzwinkern

03.05.2009, 20:21

Jacques

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OK, dann ist alles klar, Danke Dir. smile

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