Präsentation der S3

03.05.2009, 15:21

Mila

Präsentation der S3

Hey, ich habe mal eine Frage an euch...wie würdet ihr die Präsentationsschreibweise der S3 aufschreiben, welche ja isomorph zur D3 ist...

ist $\begin{eqnarray*} [S]_{3} = <x,y|x^2,y^3,(xy)^2> \end{eqnarray*}$ das richtig oder genügt:
$\begin{eqnarray*} [S]_{3} = <x,y|(xy)^2> \end{eqnarray*}$

glg

03.05.2009, 16:36

Reksilat

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RE: Präsentation der S3
Hi Mila,

In meinen Augen fehlt jeweils das "=1", also:
$\begin{eqnarray*} [S]_{3} = <x,y|x^2=1,y^3=1,(xy)^2=1> \end{eqnarray*}$

Die zweite Präsentation reicht nicht, da z.b. auch eine elementar abelsche Gruppe der Ordnung 4 von zwei Elementen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (xy)^2=1 \end{eqnarray*}$ erzeugt wird. Die erste Präsentation ist dagegen richtig.

Gruß,
Reksilat.

03.05.2009, 20:04

Mila

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Hey, vielen Dank...ja unser Prof. lässt das = 1 weg, meinst du, dass das falsch ist?

glg

04.05.2009, 09:52

Reksilat

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Falsch nicht, da er es ja anscheinend so festgelegt hat. Etwas verwirrend für außenstehende ist es imho trotzdem, so viel Aufwand ist es nicht, dort immer "=1" hinzuschreiben und man weiß dann wenigstens, was gemeint ist.

Gruß,
Reksilat.

04.05.2009, 22:36

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Hm... die 1 wegzulassen, ist meiner Meinung nach Gang und Gäbe bei den Gruppentheoretikern. Es erspart Schreiberei, weil man sowieso jede Relation auf die Form bringen kann.

Bei deiner zweiten Gruppenpräsentation ist die Gruppe in jedem Falle unendlich, da Elemente $\begin{eqnarray*} a^n, b^n \end{eqnarray*}$ , n beliebig, in deiner Gruppe wären. Wie schon oben angemerkt, ist die erste Präsentation richtig.

04.05.2009, 22:51

Reksilat

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Hi PK,

Ich habe es jedenfalls noch nie in der Form gesehen und finde diese Schreibweise auch etwas absonderlich, da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ eben keine Aussage wie $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ ist - halt eine Sache der Ästhetik.

Außerdem kann man natürlich jede dieser Relationen auf die Form $\begin{eqnarray*} ...=1 \end{eqnarray*}$ bringen, aber z.B. die Aussage $\begin{eqnarray*} x^{-1}yx=y^{-1} \end{eqnarray*}$ finde ich weitaus anschaulicher als $\begin{eqnarray*} x^{-1}yxy=1 \end{eqnarray*}$ , da hier sofort klar wird, dass die Untergruppe $\begin{eqnarray*} <y> \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ normalisiert wird.

Gruß,
Reksilat.

Edit: Und wieso sollte die Gruppe im zweiten Fall unendlich sein? Sie ist mMn gar nicht eindeutig definiert.

05.05.2009, 09:53

kiste

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Zitat:

Original von Reksilat
Und wieso sollte die Gruppe im zweiten Fall unendlich sein? Sie ist mMn gar nicht eindeutig definiert.

Die Gruppe ist jeweils definiert als die größte Gruppe die das erfüllt. Das ist die freie Gruppe über den Erzeugern faktorisiert durch den von den Relationen erzeugten Normalteiler(deshalb macht die Schreibweise ohne =1 auch aus dieser Sicht her Sinn).
Sonst könnte man überall sagen die Gruppe ist nicht eindeutig definiert da die triviale Gruppe {1} alle Präsentationen erfüllt.

05.05.2009, 10:15

Reksilat

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Da hast Du recht. Danke Dir.

Gruß,
Reksilat.

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