Stetigkeit, normierte Räume

03.05.2009, 15:33

Sabinee

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Stetigkeit, normierte Räume

Seien V und W zwei normierte Vektorräume. Zeigen Sie: Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} F: V\mapsto W \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig, wenn es ein $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} ||Fv||\leq C\cdot ||v|| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ gilt (wenn man in beiden Räumen die Norm mit $\begin{eqnarray*} ||...|| \end{eqnarray*}$ bezeichnet).

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "

F stetig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \end{eqnarray*}$ , s.d $\begin{eqnarray*} \forall v\in V:||v-v_0||<\delta \Rightarrow ||fv-fv_0||<\epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich die Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} v_0=0 \end{eqnarray*}$ annehmen und die Ungleichung zeigen. Ist das der richtige Weg? Wenn ja wie muss ich weitermachen?

03.05.2009, 17:28

Sabinee

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RE: Stetigkeit, normierte Räume
Hab jetzt die Rückrichtung versucht.

Es ist: $\begin{eqnarray*} ||F(x)-F(y)||=||F(x-y)||\leq C\cdot ||x-y|| \end{eqnarray*}$ .

Es folgt: $\begin{eqnarray*} ||F(x)-F(y)||\leq C\cdot ||x-y||<C\delta \end{eqnarray*}$

Nun wähle ich: $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\epsilon}{C} \end{eqnarray*}$ und komme auf $\begin{eqnarray*} ||F(x)-F(y)||<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig?
Wenn ja, fehlt mir immer noch die Hinrichtung.

04.05.2009, 20:25

Sabinee

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RE: Stetigkeit, normierte Räume
Kann mir hierzu niemand helfen?

05.05.2009, 10:27

klarsoweit

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RE: Stetigkeit, normierte Räume
Wenn du verwenden darfst, daß eine stetige Abbildung auf einer kompakten Menge beschränkt ist, dann kannst du das mal auf der Menge der v aus V mit ||v|| = 1 anwenden.

05.05.2009, 12:08

Sabinee

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RE: Stetigkeit, normierte Räume
War die Rückrichtung denn richtig?

Zur Hinrichtung:
Ja ich darf das verwenden, aber ich weiß nicht inwiefern mir das hilft. Und wieso darf ich annehmen dass die Menge Kompakt ist?

05.05.2009, 12:13

off

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Zitat:

Wenn du verwenden darfst, daß eine stetige Abbildung auf einer kompakten Menge beschränkt ist, dann kannst du das mal auf der Menge der v aus V mit ||v|| = 1 anwenden.

Kurzer Hinweis : Die Menge $\begin{eqnarray*} \{v \in V ~ ||v|| = 1\} \end{eqnarray*}$ ist genau dann kompakt wenn V endlichdimensional ist. Daher die kurze Frage ob V bzw. W endlichdimensional sind?

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05.05.2009, 12:16

Sabinee

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Das steht leider auf dem Blatt nicht drauf. Und jetzt?

05.05.2009, 12:20

off

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In der linearen Algebra wird oft direkt zu Beginn gesagt das man alles endlich dimensional betrachtet und verzichtet im weiteren Verlauf dieses zu erwähnen (vorsicht dies ist nicht immer so). Solltest Du das Ganze im Funktionalanalysiskontext machen, so sind V und W durchaus auch als unendlichdimensional anzunehmen.

05.05.2009, 12:24

Sabinee

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Also da das eine Aufgabe aus Analysis 2 ist kann es durchaus möglich sein, dass wir uns im unendlichdimensionalen befinden.

Falls die Aufgabe dadurch wesentlich schwerer wird, denke ich ist nur der endlichdimensionale Fall gemeint.

Wie müsste ich denn in beiden Fällen weitermachen?

05.05.2009, 12:25

off

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Gilt

Zitat:

Es ist: $\begin{eqnarray*} ||F(x)-F(y)||=||F(x-y)||\leq C\cdot ||x-y|| \end{eqnarray*}$ .

so ist F Lipschtizstetig, und damit stetig.

05.05.2009, 12:33

Sabinee

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Ja die Richtung hatte ich ja mehr oder weniger schon gezeigt. Wie komme ich denn auf die andere Richtung?

05.05.2009, 13:08

Dual Space

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Du willst also noch zeigen, dass jede stetige und lineare Funktion auch beschränkt ist.

Nimm an F sei unbeschränkt, dann gäbe es zu jedem $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} v_n\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|Fv_n\|>n\|v_n\| \end{eqnarray*}$ . Versuche jetzt den Beweis zu beenden, indem du $\begin{eqnarray*} x_n=v_n/(n\|v_n\|) \end{eqnarray*}$ setzt und $\begin{eqnarray*} \|Fx_n\| \end{eqnarray*}$ studierst.

Edit: Noch ein kleiner Tipp, der zum Schluss nützliuch ist. Stetigkeit auf V bedeutet trivialerweise Stetigkeit in Null. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2009, 13:11

off

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Lineare Abbildungen sind stetig wenn sie stetig in
Beweis durch Kontraposition hilft hier. Nimm an es gelte nicht

$\begin{eqnarray*} \|F(x) - F(y)\| < C\|x - y\| \end{eqnarray*}$

dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} v_n \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|Tv_n\| > n \|v_n\| \end{eqnarray*}$ . Betrachte nun $\begin{eqnarray*} y_n = \frac{x_n}{n\|x_n\|} \end{eqnarray*}$ und führe einen Widerspruch zur Stetigkeit in 0 an.

05.05.2009, 13:12

Dual Space

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@off: Da hatten wir wohl den selben Beweis im Kopf. Big Laugh

Big Laugh

05.05.2009, 13:28

Sabinee

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Ok ich werde es versuchen.

Danke

05.05.2009, 13:39

Sabinee

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Ich bin mir nicht ganz sicher. Euer Tipp ist gut aber ich bin glaube ich ein bisschen blöd dazu.

Also ich nehme an dass F unbeschränkt ist.

Es ist doch dann: $\begin{eqnarray*} ||F(x_n)||=||F\left(\frac{v_n}{(n\cdot ||v_n||)}\right)||=\frac{1}{|n|\cdot ||v_n||}\cdot ||F(v_n)|| \end{eqnarray*}$

Da F unbeschränkt ist gilt doch auch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|n|\cdot ||v_n||}\cdot ||F(v_n)||>1 \Rightarrow ||F(v_n)|>|n|\cdot ||v_n|| \end{eqnarray*}$

Das ist ein Widerspruch zur Stetigkeit in 0.

Was sagt ihr dazu?

05.05.2009, 13:50

Dual Space

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Gut.

Freude

Evtl. solltest du aber explizit erwähnen, dass die so konstruierte Folge (x_n) eine Nullfolge ist.

05.05.2009, 13:51

Sabinee

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Dankeschön, super dass das geklappt hat. Gott

Gott

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