exponentialverteilung - bedingte dichte - transformationssatz

03.05.2009, 18:47

Eli83

exponentialverteilung - bedingte dichte - transformationssatz

X und Y seien unabhängige exponentialverteilte Zufallsvariablen mit dem gleichen Parameter lambda. Nun sei Z = X + Y. Zu zeigen ist nun, dass die bedingte Verteilung von X gegeben Z = z gleichförmig auf dem Intervall (0, z) verteilt ist. Hinweis: Dichte der gemeinsamen Verteilung von X und Z mit dem Transformationssatz bestimmen.

Ich habe da jetzt also folgendes:

1.
fX|Z (x) = f(X,Z) (x,z) / fZ (z)

2.
f(X,Z) (x,z) = fX (A^-1 * (x,z)) / |det(A)| //mit dem Tranformationssatz
= lambda * e^(-lambda(x,y))

3.
fZ (z) = Integral f(X,Z) (x,z) dx = Integral lambda * e^(-lambda(x,y)) dx

4.
fX|Z (x) = lambda * e^(-lambda(x,y)) / Integral lambda * e^(-lambda(x,y)) dx
und das soll jetzt nach Aufgabestellung 1/z ergeben, wenn ja wie, wenn nein, wo ist der Fehler??????

03.05.2009, 19:33

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Zitat:

Original von Eli83
lambda * e^(-lambda(x,y))

Hier muss eine reelle Zahl herauskommen! Was bedeutet also ganz konkret dein hier stehendes $\begin{eqnarray*} \lambda(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

03.05.2009, 20:56

Eli83

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mein Fehler,der fängt aber weiter oben an:

2.
f(X,Z) (x,z) = f(X,Y) (A^-1 * (x,z)) / |det(A)| //mit dem Tranformationssatz

so muss es glaube ich heißen, aber ich weiss nicht wie die Dichte von der gemeinsamen Verteilung zweier exponentialverteilter Zufallsvariablen aussieht, davon hängt dann ab wie der Zähler und dann auch der Nenner ausschaut

03.05.2009, 21:01

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Zitat:

Original von Eli83
aber ich weiss nicht wie die Dichte von der gemeinsamen Verteilung zweier exponentialverteilter Zufallsvariablen aussieht

Wie sieht denn allgemein die Dichte eines aus unabhängigen (!) Komponenten $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ bestehenden Zufallsvektors aus? Doch einfach das Produkt der Einzeldichten:

$\begin{eqnarray*} f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y) = \begin{cases} \lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} & \;\mbox{für}\; x\geq 0,\, y\geq 0 \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

04.05.2009, 08:38

Eli83

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also habe ich dann letztlich:
4.
fX|Z (x) =
lambda * e^(-lambda * (x+y)) / Integral lambda * e^(-lambda * (x+y)) dx
das ergibt aber bei mir 1/lambda und nicht 1/z, da fehlt mir noch was..

04.05.2009, 08:46

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Nein. Du kennst zwar die Transformationsregeln, wendest sie aber nicht richtig an. Nochmal im einzelnen: Es ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X \\ X+Y \end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

woraus dann auch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X \\ Z-X \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

folgt. Mit

$\begin{eqnarray*} f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y) = \begin{cases} \lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} & \;\mbox{für}\; x\geq 0,\, y\geq 0 \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

kommt man dann zu

$\begin{eqnarray*} f_{(X,Z)}(x,z) = \frac{1}{|\det(A)|} f_{(X,Y)}(A^{-1}\cdot (x,z)^T) = f_{(X,Y)}(x,z-x) = f_X(x)\cdot f_Y(z-x) = \begin{cases} \lambda^2 e^{-\lambda z} & \;\mbox{für}\; z\geq x\geq 0 \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du deine Integration über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durchführen.

04.05.2009, 10:39

Bruno Koop

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Hallo Eli!

Wenn ich das richtig überblicke, fehlt dir zu deinem Glück doch nur noch die Dichte von $\begin{eqnarray*} Z = X + Y \end{eqnarray*}$ . Die man über die Faltungsformel oder (Schritt für Schritt) folgendermaßen erhält:

$\begin{eqnarray*} F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(X + Y \leq z) = E(1_{\{X + Y \leq z\}}) = \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} 1_{(-\infty,z-x]}(y) f_X(x) f_Y(y) \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} 1_{(-\infty,z-x]}(y) 1_{(0,\infty)}(x)\lambda e^{-\lambda x} 1_{(0,\infty)}(y)\lambda e^{-\lambda y} \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^{\infty} \lambda^2 e^{-\lambda x} \int_{\mathbb{R}} 1_{(-\infty,z-x]}(y) 1_{(0,\infty)}(y) e^{-\lambda y} \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^{\infty} \lambda^2 e^{-\lambda x} 1_{(-\infty,z]}(x) \int_0^{z-x} e^{-\lambda y} \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^z \lambda e^{-\lambda x} (1 - e^{-\lambda (z-x)}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^z \lambda e^{-\lambda x} \, dx - \lambda z e^{-\lambda z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 - e^{-\lambda z} - \lambda z e^{-\lambda z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 - (1 + \lambda z) e^{-\lambda z} \end{eqnarray*}$

Der Indikatior $\begin{eqnarray*} 1_{(-\infty,z]}(x) \end{eqnarray*}$ in der vierten Zeile kommt zustande, weil das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{z-x} e^{-\lambda y} \, dy \end{eqnarray*}$ eben nur dann existiert, wenn $\begin{eqnarray*} x \leq z \end{eqnarray*}$ .

Nun noch ableiten, dann hast du die Dichte:

$\begin{eqnarray*} f_Z(z) = -\lambda e^{-\lambda z} + (1 + \lambda z) \lambda e^{-\lambda z} = \lambda^2 z e^{-\lambda z} \end{eqnarray*}$

Wie du nun schon richtig festgestellt hast, gilt $\begin{eqnarray*} f_{X|Z=z}(x) = \frac{f_{(X,Z)}(x,z)}{f_Z(z)} \end{eqnarray*}$ . Zusammen mit der gemeinsamen Dichte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ , die Arthur dir bereits geliefert hat, erhälst du dann:

$\begin{eqnarray*} f_{X|Z=z}(x) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda z} 1_{(0,z)}(x)}{\lambda^2 z e^{-\lambda z}} = \frac{1}{z} 1_{(0,z)}(x) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, damit ist dir alles klar!

LG Bruno

04.05.2009, 11:04

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@Bruno Koop

In dem Kontext, den Eli83 bereits aufgebaut hat, ergibt sich die Dichte $\begin{eqnarray*} f_Z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ einfach als Randverteilungsdichte von $\begin{eqnarray*} (X,Z) \end{eqnarray*}$ bzgl. der zweiten Komponente, d.h.

$\begin{eqnarray*} f_Z(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f_{(X,Z)}(x,z) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Ich betone das nur deswegen, damit Eli83 nicht irrigerweise davon ausgeht, dass jetzt mit deiner Faltungsformel was ganz Neues ins Spiel kommt. Inhaltlich ist nämlich beides dasselbe.

04.05.2009, 18:07

Eli83

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Alles klar!
Danke an euch!

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