Binomialverteilung (mit großem n)

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Jules1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialverteilung (mit großem n)
Hallo Zusammen! Ich brauche mal wieder eure Hilfe...Ich schreib am Dienstag Mathe-Abi und hab ein Problem mit Binominalverteilungen mit großem n. Zuersteinmal eine Beispielaufgabe:

Ein in die Jahre gekommenes Fotokopiergerät liefert brauchbare und unbrauchbare Kopien. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kopie unbrauchbar ist, beträgt 15 % (Ausschussquote). Das Fertigen von Kopien soll als Bernoulli-Kette angesehen werden.(...)
3. Von einem einseitigen Rundschreiben werden 170 brauchbare Kopien benötigt. Eine Sekretärin, der die Ausschussquote von 15 % bekannt ist, fertigt zur Sicherheit gleich 200 Kopien. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie trotzdem weniger als die gewünschte Zahl von brauchbaren Kopien? (Abitur Bayern 2006 Grundkurs, Stochastik III)


Ich weiß, dass das Ergebnis 0,45149, also 45,1 % ist. Ich weiß auch, wie man die Binomialverteilung anwendet, wenn die Aufgabe z.B. die Wahrscheinlichkeit dafür fordert, dass GENAU 170 Kopien brauchbar sind. Aber gerade bei großem n kann ich doch nicht alle Einzelwahrscheinlichkeiten addieren! Im Unterricht haben wir immer irgendwie die Wahrscheinlichkeiten voneinander abgezogen. Das hab ich aber nie hinbekommen, schon deswegen nicht, weil ich immer nicht weiß, ob man über das Gegenereignis geht oder ob man zuerst k-1 rechnen muss...Ihr seht, bei mir ist Chaos im Kopf! verwirrt Ich wäre euch unendlich dankbar, wenn ihr mir helfen könntet!

Lieben Gruß, Jule
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialverteilung (mit großem n)
Zitat:
Original von Jules1990
Aber gerade bei großem n kann ich doch nicht alle Einzelwahrscheinlichkeiten addieren!


Hast du keinen Taschenrechner, der kumulierte Binomialwerte berechnen kann?
 
 
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Sache mit dem Gegenereignis ist ein beliebter Trick, um den Rechenaufwand bei solchen Aufgaben ein wenig zu reduzieren.

Die Zufallsvariable X möge etwa Werte zwischen 0 und 200 annehmen.

Mit P(X<170) bezeichne ich mal die Wahrscheinlichkeit, dass X < 170 ist.

Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist doch dann P(X>=170).

Und da die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis den Wert 1 ergeben muss, gilt doch

P(X<170) = 1 - P(X>=170)

Für die linke Seite müssen wir 170 Wahrscheinlichkeiten aufaddieren (X=0 bis X=169).

Auf der rechten Seite müssen wir nur die Wahrscheinlichkeiten für X=170 bis X=200 aufaddieren. Und das ist oft viel einfacher. Deswegen wird man die Wahrscheinlichkeit in diesen Fällen über das Komplement der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen.

Grüße

[edit] Natürlich stimme ich dem Rat meines Vorredners zu, dass man bei großen Zahlen die Werte entweder mit einem Taschenrechner oder einem Tafelwerk ermitteln wird. Wobei Tafelwerken von der o.a. Eigenschaft meist Gebrauch machen um den Umfang der Tabellen zu reduzieren.
Jules1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch. Ich habe den ClassPad 300. Davon habe ich schon mal was gehört. Ich muss dann glaub ich diesen "Binomial CD"-Befehl anwenden. Weiß aber nicht wie das geht. Dann muss ich das Ergebnis doch von 1 abziehen oder? Ich komm bei dieser Aufgabe aus Bayern einfach nicht aus Erbegnis...Außerdem: wie mach ich das z.B. wenn es so eine Aufgabe ist wie: P(150<X<170)...sowas z.B. geht mit diesem Befehl nicht!?
Jules1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BarneyG.
Auf der rechten Seite müssen wir nur die Wahrscheinlichkeiten für X=170 bis X=200 aufaddieren. Und das ist oft viel einfacher.


Aber ich kann doch trotzdem nicht 30 Werte addieren oder??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die kumulierte Binomialverteilung berechnet die Wahrscheinlichkeiten . Und das bedeutet ja nichts anderes als



Wenn du nun berechnen willst, so bedeutet das



Und das kannst du berechnen, indem du alle Wahrscheinlichkeiten bis einschließlich 169 aufsummierst und davon die Summe aller bis einschließlich 150 subtrahierst:





Und das, was in den großen Klammern besteht, berechnet dir dein Taschenrechner. Was du da aber für Tasten drücken mußt, kann ich dir nicht sagen, da ich diese Maschine nicht kenne. Aber wozu gibt es eine Gebrauchsanleitung? Da steht das bei dem entsprechenden Befehl sicher drin.
Jules1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh...habs grad mit dem "BinomialCD"-Befehl versucht...da klappt es.
Und das mit dem subtrahieren: dort muss ich also alle Wahrscheinlichkeiten addieren und das eine vom anderen abziehen...okay das verstehe ich auch. Ich komm nur immer bissel durcheinander, ob z.B. wie in dem Fall die 170 mit hineinmuss oder eben nur 169 genommen wird...In dem Fall den du mir gezeigt hast, geht es doch aber auch nur bis P(X=149) wenn es P(X>150) heißt, oder?
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