positive definitheit

14.09.2006, 17:05

kingskid

positive definitheit

Hi!
Wie kann man zeigen, dass A genau dann positiv definit ist, wenn $\begin{eqnarray*} A^t + A \end{eqnarray*}$ positiv definit ist??

... kenn leider nur das hauptminorenkriterium, aber das gilt ja nur für symmetrische bzw hermitesche matrizen...

viele grüße

14.09.2006, 17:22

Gnu

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Öhm, hier stand mal etwas unüberlegtes, ich denk lieber nochmal drüber nach bevor es nur mehr verwirrt als hilft.

Okay, Vorschlag 1 war Blödsinn, hab 'nen neuen: Betrachte ein allgemeines Skalarprodukt $\begin{align*} x^tAx \end{align*}$ und dazu die Definition der positiven Definitheit. Sollte so funktionieren.

14.09.2006, 18:02

kingskid

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hm,

also wenn $\begin{eqnarray*} x^t A x >0 \end{eqnarray*}$ für alle x gilt, dann ist A positiv definit.

muss ich dann weiter $\begin{eqnarray*} x^t (A+A^t)x \end{eqnarray*}$ betrachten`??

aber wie kann ich das umformen??

14.09.2006, 18:36

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Eine reelle Zahl, als 1x1-Matrix interpretiert, ergibt transponiert wieder sich selbst. Und $\begin{eqnarray*} x^tAx \end{eqnarray*}$ ist eine solche reelle Zahl...

14.09.2006, 19:59

kingskid

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danke für den tipp...

$\begin{eqnarray*} x^tAx= (x^tAx)^t =x^t A^t x \end{eqnarray*}$

also das muss ich zeigen: $\begin{eqnarray*} x^t (A^t+A)x >0 \end{eqnarray*}$

und wenn gilt A pos def, d.h. $\begin{eqnarray*} x^tAx=x^t A^t x > 0 \end{eqnarray*}$
dann gilt auch:
$\begin{eqnarray*} x^t A^t x + x^t A x > 0 \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} x^t (A^t+A)x >0 \end{eqnarray*}$

darf man das so umformen im letzten schritt??

14.09.2006, 20:23

Gnu

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Ja, denn das sind einfach die Distributivgesetze für Matrix-Vektor-Multiplikation.

Da es hier jedoch eine "genau dann wenn" Behauptung ist musst Du auch noch die andere Richtung zeigen, d.h. aus $\begin{eqnarray*} A+A^t \end{eqnarray*}$ pos. definit folgt: A pos. definit.

14.09.2006, 20:43

kingskid

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oh cool. kann man die andre richtung so ähnlich zeigen?

also ich bin grade hier:

$\begin{eqnarray*} A + A^t \end{eqnarray*}$ pos. definit, d.h. $\begin{eqnarray*} x^t(A+A^t)x>0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} (x^t(A+A^t)x)^t = x^t (A+A^t)^t x = x^t(A+A^t)x >0 \end{eqnarray*}$
bin ich da so auf dem richtigen weg?

cih weiß nur nicht was ich mit dieser transponierten summe machen soll:
$\begin{eqnarray*} (A+A^t)^t \end{eqnarray*}$ ??

15.09.2006, 01:55

JochenX

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Zitat:

Original von kingskid
$\begin{eqnarray*} x^tAx= (x^tAx)^t =x^t A^t x \end{eqnarray*}$

verwende doch einfach wieder das hier.....

15.09.2006, 07:56

kingskid

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meinst du so:

$\begin{eqnarray*} x^t (A+A^t)x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^tAx + x^tAx>0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x^tAx= (x^tAx)^t =x^t A^t x \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} x^tAx+x^tAx>0 \end{eqnarray*}$
d.h. $\begin{eqnarray*} 2 x^tAx > 0 \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} x^tAx > 0 \Rightarrow A \end{eqnarray*}$ positvi definit.

stimmt das so???

15.09.2006, 09:36

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Ja.

Natürlich schwebt über all diesen Betrachtungen das "für alle x" ...

EDIT: Bevor jemand meckert: Gemeint ist selbstverständlich "für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ". Augenzwinkern

15.09.2006, 15:38

kingskid

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danke euch !! smile

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