Winkel berechnen mit Normalengleichung? |
| 03.05.2009, 19:45 | sonic1889 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Winkel berechnen mit Normalengleichung? f(x)= -1/12x^3+1/2x^2 g(x)= -3/4x+9/2 Ermittleln Sie den Schnittwinkel zwischen den Graphen von f und g im Punkt (3/f(3)) Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen? |
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| 03.05.2009, 20:08 | Alex-Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Winkel berechnen mit Normalengleichung? Du solltest bei deiner Schreibweise Klammern setzen. Ich nehme an, die x-en sollten nicht im Nenner stehen. Dann überlege mal, was Du mit der ersten Ableitung einer Funktion bekommst. Und auch, welche Variable bei einer Geradenfunktion den Tangens kennzeichnet. Dann liegst du deiner Lösung schon ein Stück näher. Zum Verständnis die Grafik. Du meinst doch sicher die Stelle wo mein Pfeil hinzeigt. ? ? |
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| 03.05.2009, 20:16 | domelius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Winkel berechnen mit Normalengleichung? Bilde einen Dreieck , der beim Schneiden der Achse Ox, der Gerade g(x) und der Tangente von f(x) im Punkt (3; f(3)) ensteht. Die 2 Tangens der an Ox liegenden Winkeln dieses Dreiecks sind bekannt, entsprechend kannst du den gesuchten dritten Winkel berechnen. |
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| 03.05.2009, 20:25 | sonic1889 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f´(x)= -0,25x^2+x Die erste Ableitung gibt die Steigung an. Wie geht es jetzt weiter? |
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| 03.05.2009, 20:55 | Alex-Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Winkel berechnen mit Normalengleichung? Das hast du doch sicher schon gelernt. Die Funktion f(x) hat im Schnittpunkt die Steigung m1, und die Geradenfunktion g(x) die Steigung m2. Dann berechnet man den Schnittwinkel der beiden Grafen mit den Tangenswerten m1 und m2, (aus den 1.Ableitungen von f(x) und g(x) ) für x=3 nach dem Ausdruck: tan(Alfa) = (m2 - m1) / (1+m1 * m2) Aber jetzt versuche selbst auf das Ergibnis zu kommen |
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| 03.05.2009, 21:07 | sonic1889 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich komme da auf -0,36 Ist das die Lösung? |
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| 03.05.2009, 21:14 | Alex-Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Funktionen schneiden sich doch bei x=3; den Tangens bekommst Du, wenn du bei der 1. Ableitung für x = 3 setzt. Das musst du bei beiden Funktionen machen und hast somit m1 und m2. Den Schnittwinkel musst du dann aus dem Tangens der weiter angegebenen SchnittwinkelGleichung ermitteln und als Winkel-Grad angeben. |
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| 03.05.2009, 22:07 | sonic1889 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus dieser Gleichung kommt bei mir 0,36 raus. Wie rechne ich das nun zum Schnittwinkel um? |
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| 03.05.2009, 23:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falls das stimmt (nicht nachgerechnet!), folgt aus Auf dem Rechner findest du die arctan-Funktion (Umkehrfunktion des Tangens) üblicherweise über die Tasten oder mY+ |
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| 05.05.2009, 21:13 | sonic1889 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok vielleicht könnte mir nocheinmal jemand helfen. Ich habe mich nämlich verrechnet... Setze ich 3 in f´(x) ein erhalte ich m1= 0,75 für g´(x) erhalte ich m2= -0,75 Ich komme aber einfach nicht auf die richtige Lösung die laut Buch so aussieht: tan (apha)= f´3= 0,75= 36,87° tan (alpha)= g(3)= -0,75= -36,87° (müsste es oben nicht heißen g´(x)?) Ich komme einfach nicht auf diese Lüsung. Wie so ist das Ergebniss einmal 36,87° und einmal -36,87°? |
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| 05.05.2009, 23:19 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Rechnung stimmt. Aus einem negativen Tangenswert bekommst Du vorerst einen negativen Winkel. Aber hier zählt ohnehin der Betrag dieses Winkels, nachdem der Schnittwinkel gesucht ist. Du solltest allerdings mit dem Gleichheitszeichen sorgfältiger umgehen.
Z.B.: tan (alpha)= f´(3)= 0,75, daraus folgt: arctan(0.75)=36.8699° (auf 4 Stellen gerundet) tan (alpha)= g´(x)= -0,75, daraus folgt:arctan(-0.75)=-36.8699° (auf 4 Stellen gerundet) |
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| 06.05.2009, 16:54 | sonic1889 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke; ich habs jetzt verstanden. Eine Frage noch: In der Lösung steht alpha= 73,74° Was hat das zu bedeuten und wie komme ich darauf? |
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| 06.05.2009, 21:01 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hat zu bedeuten, dass du den Tangenswert des Schnittwinkels doch nicht richtig berechnet hast. Es ist nämlich und daher _________________________________ Diesen Winkel erhalten wir allerdings hier auch infolge der zufällig vorliegenden Symmetrie bei der Tangente und der Geraden, indem wir den Winkel 36,87° verdoppeln. mY+ |
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| 06.05.2009, 21:38 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mythos Die Steigungswinkel der Funktionen f u. g hat sonic1889 meiner Meinung nach richtig berechnet. Ich habe aber nicht bedacht, dass der Schnittwinkel zweier Funktionen (oder Geraden) nach der Formel berechnet wird, die Du gezeigt hast. @sonic1889 Sorry, hoffentlich habe ich Dich nicht verwirrt. Ich habe den Gedanken verfolgt, den Schnittwinkel aus Steigungswinkel1 - Steigungswinkel2 zu errechnen, also 36.87° - (-36.87°) = 73.74° Wenn Du nach der Formel von mythos bzw. Alex-Peter rechnest, brauchst Du die einzelnen Winkel gar nicht zu berechnen. |
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| 06.05.2009, 22:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Gualtiero Alles klar! mY+ |
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| 07.05.2009, 10:02 | sonic1889 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok vielen Dank für die Antworten! @Gualtiero Nein, du hast mich nicht verwirrt. Wenn ich nach deiner Methode vorgehe ist das aber doch auch korrekt, oder? |
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| 07.05.2009, 12:08 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@sonic1889 Meine Methode ist insofern korrekt, als Du damit zum gleichen Ergebnis kommst. Gebräuchlicher allerdings - glaube ich halt - ist die Formel von Mythos u. Alex-Peter. |
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| 07.05.2009, 12:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tatsächlich sind beide Lösungswege korrekt. Jede Gerade besitzt als Steigung den Tangens jenes Winkels, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt. Der Schnittwinkel dieser beiden Geraden ist demgemäß die Differenz des größeren und des kleineren dieser beiden Winkel. Zu beachten ist, dass bei dem Schnittwinkel zwei Werte in Frage kommen, und beide ergänzen sich zu 180° (sind also Supplementärwinkel), denn der eine Winkel ist der Nebenwinkel des anderen. mY+ Hinweis: Man muss also die beiden Winkel voneinander subtrahieren. Um nicht die einzelnen Winkel berechnen zu müssen - welche ja nicht gefragt sind - kann auch der Tangens der Winkeldifferenz direkt nach dem Additionstheorem ermittelt werden. Daraus resultiert nämlich auch die anfangs angegebene Formel mit den einzelnen Steigungen. mY+ |
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