Anwendung des Integrals

04.05.2009, 09:18

angewandtemathe

Anwendung des Integrals

Servus,

ich habe eine Frage bzgl. der Integration. In der Physik ist ja:

$\begin{eqnarray*} a(t) = v'(t) = s''(t) \end{eqnarray*}$

Also:
Weg nach der Zeit abgeleitet = Geschwindigkeit.
Geschwindigkeit nach der Zeit abgeleitet = Beschleunigung.

Mittels Integral wird das Ganze dann entsprechend rückgängig gemacht.

Also:
Beschleunigung nach der Zeit integriert = Geschwindigkeit.
Geschwindigkeit nach der Zeit integriert = Weg.

Jetzt soll in folgender Aufgabe die Bremsbeschleunigung $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ berechnet werden und in der Rechnung soll ein Integral vorkommen.

Beispielaufgabe: Nehmen wir an, ein Auto fährt mit konstanten 200 km/h auf der Autobahn. Aus irgendeinem Grund muss es bremsen. Gehen wir mal von einer gleichmäßigen Bremswirkung aus. Nach 250 Metern ist es zum Stillstand gekommen. Wie groß war die Bremsbeschleunigung?

Jetzt ist ja:

$\begin{eqnarray*} v = \int~a(t)~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s = \int~v(t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = \frac{a}{2} t^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} v = a t \end{eqnarray*}$

Bischen Umformerei, sodass man t eliminiert:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{v^2}{2s} \end{eqnarray*}$

Und nu?

$\begin{eqnarray*} a = \frac{v^2}{2 * \int~v(t)~dt} \end{eqnarray*}$ oder wie?

$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ habe ich trotzdem nicht gegeben und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ taucht im Integral immer auf.

04.05.2009, 09:26

Rare676

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Zitat:

Bischen Umformerei, sodass man t eliminiert: $\begin{eqnarray*} a = \frac{v^2}{2s} \end{eqnarray*}$

Warum setzt du jetzt nicht einfach stumpf die Werte ein?

04.05.2009, 09:32

angewandtemathe

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Ich soll mit einem Integral rechnen. Das ist die Aufgabe.

04.05.2009, 10:06

klarsoweit

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RE: Anwendung des Integrals

Zitat:

Original von angewandtemathe
Jetzt ist ja:

$\begin{eqnarray*} v = \int~a(t)~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s = \int~v(t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = \frac{a}{2} t^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} v = a t \end{eqnarray*}$

Eins der großen Probleme unserer Zeit ist, daß man willenlos irgendwelche Formeln nimmt, ohne über deren Richtigkeit oder den Zusammenhang, in dem diese gelten, nachzudenken. Richtig ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} v(t) = v(t_0) + \int_{t_0}^t~a(u)~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = s(t_0) + \int_{t_0}^t~v(u)~du \end{eqnarray*}$

Und das solltest du mal auf deine Aufgabe anwenden.

04.05.2009, 11:15

angewandtemathe

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Warum denn $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ ? Es muss doch $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ heißen? Mit der Geschwindigkeit oder dem Weg bei $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ kann ich doch auch nichts anfangen, weil ich einfach keine Zeiten gegeben habe. 200 km/h – irgendwann Bremse – nach 250 Metern Stillstand. Das ist alles.

Wir haben eine Geschwindigkeitsänderung in der Zeit $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ . Wir nehmen also an, dass für eine infinitesimal kleine Zeitspanne $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v = a * t \end{eqnarray*}$ konstant bleibt. Die Streckenänderung während $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ beträgt dann $\begin{eqnarray*} \Delta s = a * t * \Delta t \end{eqnarray*}$ . Die Gesamtstrecke wäre:

$\begin{eqnarray*} s = \sum s * t * \Delta t \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ gegen 0 erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} s = \lim_{\Delta t \to 0} (\sum s * t * \Delta t) = \int_{0}^{T}~(a * t~dt) = \int_{0}^{T}~(v~dt) = [\frac{a}{2} t^2]_{0}^T \end{eqnarray*}$

Das gleiche Prinzip dann nochmal für die Geschwindigkeit. Mehr fällt mir dann auch nicht mehr ein, es sei denn, du rechnest mir vor, wie das deiner Meinung nach zu funktionieren hat.

04.05.2009, 11:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von angewandtemathe
Warum denn $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ ? Es muss doch $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ heißen?

Weil t schon in der oberen Integrationsgrenze steckt. Das kann man dann nicht nochmal als Integrationsvariable nehmen.

Zitat:

Original von angewandtemathe
Mit der Geschwindigkeit oder dem Weg bei $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ kann ich doch auch nichts anfangen, weil ich einfach keine Zeiten gegeben habe. 200 km/h – irgendwann Bremse – nach 250 Metern Stillstand. Das ist alles.

Irgendwann beginnt doch der ganze Bremsvorgang. Meinetwegen kannst du für t_0 den 4.5.2009 12 Uhr nehmen. Aber das ist wahrscheinlich etwas unpraktisch. Da man für t_0 eine gewisse Wahlfreiheit hat, würde ich t_0 = 0 empfehlen. Dann hast du eine Information ignoriert, nämlich die "gleichmäßige Bremswirkung". Das heißt, es ist die Bremsbeschleunigung a(t) eine Konstante a_0. Und damit solltest du in der Lage sein, mit den Integralen die Formeln für v(t) und s(t) aufzustellen.

04.05.2009, 11:40

Huggy

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Zitat:

Du hast zwei unbekannte Größen, die Bremsverzögerung und die Zeit bis zum Stillstand. Dafür bekommst du, wenn du Klarsoweit folgst, auch zwei Gleichungen:

(1) Die Geschwindigkeit ist am Ende 0.
(2) Der Bremsweg beträgt 250 m

04.05.2009, 12:28

angewandtemathe

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Na gut. Nehmen wir doch mal klarsoweits Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} v(t) = v(0) + \int_{0}^T~a(t)~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = s(0) + \int_{0}^T~v(t)~dt \end{eqnarray*}$

(Ich habe sie bischen modifiziert. Das mit dem $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ hat mir nicht gefallen. In der Physik ist es ja auch das Integral nach der Zeit "t" ...)

Dann habe ich mit $\begin{eqnarray*} a = \frac{v}{t} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} v(t) = v(0) + \int_{0}^T~\frac{v}{t}~dt \end{eqnarray*}$

Bevor ich weitermache – ist diese Vorgehensweise so korrekt? Dass der Integrant, die Beschleunigung $\begin{eqnarray*} a(t) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \frac{v}{t} \end{eqnarray*}$ assoziiert wird?

04.05.2009, 12:44

angewandtemathe

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Ich nehme es zurück. Ich habe ja wieder ignoriert, dass der Integrant eine Konstante ist, da die Beschleunigung konstant ist.

04.05.2009, 12:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von angewandtemathe
$\begin{eqnarray*} v(t) = v(0) + \int_{0}^T~a(t)~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = s(0) + \int_{0}^T~v(t)~dt \end{eqnarray*}$

Auch wenn dir die Integrationsvariable u nicht gefallen hat, mußt du schon darauf achten, daß die in sich stimmig sind. Wir können uns einigen auf:

$\begin{eqnarray*} v(T) = v(0) + \int_{0}^T~a(t)~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(T) = s(0) + \int_{0}^T~v(t)~dt \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} v(t) = v(0) + \int_{0}^t~a(T)~dT \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = s(0) + \int_{0}^t~v(T)~dT \end{eqnarray*}$

Eine Konstante als Integrand läßt sich sehr einfach integrieren. Augenzwinkern

04.05.2009, 13:10

angewandtemathe

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$\begin{eqnarray*} v(T) = v(0) + \int_{0}^T~a(t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = v(0) + [a \cdot t]_{0}^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = v(0) + (a \cdot T - a \cdot 0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = v(0) + (a \cdot T) \end{eqnarray*}$

Wenn das jetzt nicht stimmt, fresse ich einen Besen. verwirrt

Weiterhin weiß man, dass v(0) = 60 km/h.

Mit der 2. Gleichung dürfte es dann kein Problem sein, a zu ermitteln. Richtig so weit? verwirrt

04.05.2009, 13:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von angewandtemathe
Wenn das jetzt nicht stimmt, fresse ich einen Besen. verwirrt

Rein formal solltest du wenigstens erwähnen, daß a(t) = a ist.

Zitat:

Original von angewandtemathe
Weiterhin weiß man, dass v(0) = 60 km/h.

Also ich hatte was von 200 km/h in der Aufgabe gelesen.

Zitat:

Original von angewandtemathe
Mit der 2. Gleichung dürfte es dann kein Problem sein, a zu ermitteln. Richtig so weit? verwirrt

Im Prinzip ja. Nebenbei läßt sich auch die Bremszeit T_Brems bestimmen. Augenzwinkern

04.05.2009, 13:31

angewandtemathe

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Zitat:

Original von klarsoweit
Also ich hatte was von 200 km/h in der Aufgabe gelesen.

War auch gemeint. Ich war schon mit den Gedanken bei der nächsten Aufgabe. Big Laugh

Danke auf jeden Fall so weit.

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