Banach-Steinhaus

04.05.2009, 09:27

kingskid

Banach-Steinhaus

Hallo,
X,Y seien Banachräume und B: X x Y -> K bilinear. B sei partiell stetig.
Warum folgt dann, dass B stetig ist?

Anscheinend kann man das mit Banach-Steinhaus zeigen. Partielle Stetigkeit bedeutet doch, dass für alle x aus X gilt, dass y -> B(x,y) stetig ist und dass für alle y aus Y gilt, dass x -> B(x,y) stetig ist.

Mit Banach-Steinhaus kann man ja von punktweise Beschränktheit auf gleichmäßige Beschränktheit schließen, und lineare Operatoren sind ja dann stetig, aber ich weiß nicht wirklich wie ich das hier richtig anwenden kann. Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen kann.

04.05.2009, 21:40

Mazze

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Du sollst ja Banach-Steinhaus benutzen. Dafür wäre die Punktweise Beschränktheit zu zeigen , also dass

$\begin{eqnarray*} \sup \{\|B(x,y)\| ~ \text{ B bilinear und partiell stetig}\} < \infty ~ \forall x \in X , y \in Y \end{eqnarray*}$

gilt. Denn dann folgt dass auch $\begin{eqnarray*} \sup\{\|B\| ~ \text{ B bilinear und partiell stetig} \} < \infty \end{eqnarray*}$ ist, und dann bist Du fertig. Nach Voraussetzung sind

$\begin{eqnarray*} B(x_0,y), B(x,y_0) \end{eqnarray*}$ stetig , d.h es gilt

$\begin{eqnarray*} \sup_{y \in Y} \|B(x_0,y)\| < \infty ~ \forall x_0 \in X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in X} \|B(x,y_0)\| < \infty ~ \forall y_0 \in Y \end{eqnarray*}$

Das baust Du jetzt zusammen um die Voraussetzung für Banach-Steinhaus zu bekommen.

05.05.2009, 15:33

kingskid

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Hallo,
wir hatten Stetigkeit für lineare Operatoren so dass ex. $\begin{eqnarray*} c < \infty \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \|Tx\| \leq \|x\| \; \forall x \in X \end{eqnarray*}$ .

Hast du diese Beschränktheit also nur durch das sup ausgedrückt, ist es also quasi das Gleiche?

Kann ich das so zusammenbasteln:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x,y} \|B(x,y) \| \leq \sup_{y \in Y} \|B(x_0,y) \| + \sup_{x \in X} \|B(x,y_0) \| < \infty \end{eqnarray*}$

... oder wie kann man die partielle Stetigkeit da reinbringen...?

06.05.2009, 14:21

off

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Offensichtlich bilden die

$\begin{eqnarray*} B_y(x) = B(x,y) ~ y \in Y, \tilde{B}_x = B(x,y) ~ x \in X \end{eqnarray*}$ Familien von stetigen Operatoren. Wenn Du zeigen kannst dass

$\begin{eqnarray*} \sup_{y \in Y}||B_y(x)|| < \infty \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in X}||B_x(y)|| < \infty \end{eqnarray*}$

bist Du fertig. Denn daraus folgt mit Banach-Steinhaus

$\begin{eqnarray*} \sup_{y \in Y}||B_y|| < \infty \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in X}||B_x|| < \infty \end{eqnarray*}$

und damit kannst Du

$\begin{eqnarray*} \sup_x \sup_y \|B(x,y)\| < \infty \end{eqnarray*}$

zeigen und bekommst die gesamte Aussage.

06.05.2009, 18:59

WebFritzi

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Ihr schreibt beide Bockmist (also entweder Müll (über bilineare B indizieren) oder ihr vergesst was (die Suprema von off sind immer Unendlich)). Augenzwinkern

Ich werde hier jetzt aussnahmsweise mal eine vollständige Lösung geben, um die Verwirrung zu reduzieren.

Wir haben: "Für jedes Paar $\begin{eqnarray*} (a,b)\in X\times Y \end{eqnarray*}$ sind die linearen Funktionale

$\begin{eqnarray*} B_a : Y\to K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B_a(y) := B(a,y) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} B^b : X\to K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B^b(x) := B(x,b) \end{eqnarray*}$

stetig."

Zu zeigen: "Die Abbildung B ist stetig." Ähnlich wie für lineare Abbildungen (bzw. spezieller: Funktionale) zeigt man, dass dies gleichwertig ist zu

$\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|=1}\,\sup_{\|y\|=1}\,|B(x,y)| < \infty. \end{eqnarray*}$

Für beliebiges $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|=1}\,|B_x(y)| = \sup_{\|x\|=1}\,|B^y(x)| = \|B^y\|_{L(X,K)} < \infty. \end{eqnarray*}$

Jetzt können wir den Satz von Banach-Steinhaus anwenden, aus dem folgt

$\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|=1}\,\|B_x\|_{L(Y,K)} < \infty, \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|=1}\,\sup_{\|y\|=1}\,|B(x,y)| < \infty, \end{eqnarray*}$

was zu zeigen war.

11.05.2009, 01:07

WebFritzi

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Ich denke, nach 5 Tagen wäre eine Rückmeldung mal angebracht. unglücklich

12.05.2009, 14:33

kingskid

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Hallo,
vielen Dank für die Erklärung! :-)

Warum bedeutet Stetigkeit aber so viel wie, das hier:

$\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|=1}\,\sup_{\|y\|=1}\,|B(x,y)| < \infty \end{eqnarray*}$

Wie schon geschrieben, für Stetigkeit kannte ich nur so etwas:
$\begin{eqnarray*} \|Tx\| \leq c \|x\| \; \forall x \in X, \; c>0. \end{eqnarray*}$

... wobei das dann sicherlich etwas mit der Definition der Operatornorm zu tun hat, oder?

PS: ... und warum gilt der letzte Schritt?

13.05.2009, 18:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von kingskid
Warum bedeutet Stetigkeit aber so viel wie, das hier:

$\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|=1}\,\sup_{\|y\|=1}\,|B(x,y)| < \infty \end{eqnarray*}$

Wie schon geschrieben, für Stetigkeit kannte ich nur so etwas:
$\begin{eqnarray*} \|Tx\| \leq c \|x\| \; \forall x \in X, \; c>0. \end{eqnarray*}$

Das letztere ist doch für lineare Abbildungen. Wir haben hier aber eine bilineare Abbildung vorliegen. Für solche ist Stetigkeit gleichwertig mit

$\begin{eqnarray*} (*)\quad\exists c>0\,\forall x,y \in X : |B(x,y)| \le c\,\|x\|\,\|y\|. \end{eqnarray*}$

Dass dies gleichwertig ist zu

$\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|=1}\,\sup_{\|y\|=1}\,|B(x,y)| < \infty \end{eqnarray*}$

ist leicht zu sehen. Dass (*) gleichwertig ist zur Stetigkeit, zeigt man ähnlich wie für lineare Abildungen. Reicht dir das als Erklärung?

Zitat:

Original von kingskid
PS: ... und warum gilt der letzte Schritt?

Das ist doch einfach nur eingesetzt (Definition der Operatornorm).

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