Aufgabe zu Extremwertproblem |
| 14.09.2006, 17:44 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aufgabe zu Extremwertproblem
Ich soll aus dem Buch Lambacher Schweizer Analysis die Aufgabe 29 auf Seite 152 lösen... Eine Holzkugel mit dem Radius r=4cm soll so abgeschliffen werden das ein Zylinder mit möglichst großem Rauminhalt entsteht. Wie groß sind der Grundradius und die Höhe des entstehenden Körpers? Welchen Rauminhalt hat er ? Hoffe ihr könnt mir helfen, weiß nicht ob das ohne die Zeichnung im Buch geht... |
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| 14.09.2006, 17:56 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Louisa Wie würde denn die Hauptbedingung lauten? Was "stört" darin erstmal? Gruß Björn |
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| 14.09.2006, 17:58 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm...ja ehrlich gesagt hab ich überhaupt keine ahnung wie ich so eine aufgabe anfangen soll...ich verstehe die zeichnung dazu auch nicht irgendwie.. aber muss ja irgendwie eine zielfunktion aufstellen? |
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| 14.09.2006, 18:02 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um das ganze Problem in zwei Dimensionen zu drücken: Wenn du einen Kugelquerschnitt nimmst, und ein Rechteck darin einbeschreibst, dann möchtest du das Rechteck mit der Breite und der Höhe finden, bei dem maximal ist. Die Funktion beschreibt einen Halbkreis mit dem Radius 4. Durch sie kannst du in Abhängigkeit von ausdrücken und erhältst deine Zielfunktion. |
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| 14.09.2006, 18:02 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab das Buch ja auch, verstehe die Zeichnung auch nicht so ganz 
Werde sie vielleicht gleich mal posten, um andere Meinungen dazu zu hören. 
Die Hauptbedingung ergibt sich ja aus dem Stichwort "Rauminhalt", also das Volumen des entstehenden Zylinders. Wie lautet denn die Formel dafür? Edit: Och schade, jetzt hat er schon alles verraten... |
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| 14.09.2006, 18:06 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hihi...ja aber find ich auch ganz gut...nichtmal da wär ich drauf gekommen warscheinlich... versteh das aber immer noch nicht..die zeichnung ist total komisch... |
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| 14.09.2006, 18:07 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, tut mir leid... Leider ist Forenkommunikation nicht ganz Echtzeit... |
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| 14.09.2006, 18:11 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Louisa Aber nochmal zu der Halbkreisfunktion f(x)=h von sqrt(2) : Versuche dir das lieber mal mit Hilfe vom Satz des Pythagoras herzuleiten - oder kannst du was mit Funktionen anfangen, die einen Halbkreis beschreiben? Edit: Ignorier die Zeichnung lieber, ich versuch dir mal ne Skizze zu machen Gruß Björn |
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| 14.09.2006, 18:22 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm nein, kenne die formel gar nicht... ja also mit dem satz des pythagoras wäre dann...2r^2 + 1/2 r^2 = d ? oder so..? |
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| 14.09.2006, 18:26 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, hier kommt die Skizze. Es fehlt zwar eigentlich eine Dimension (ne Kugel is ja räumlich), und das blaue Rechteck soll den räumlichen Zylinder darstellen - aber für die Aufgabe sollte es zweckmäßig reichen - hoffe ich 
Kannst du damit was anfangen? |
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| 14.09.2006, 18:31 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh cool..das ist nett... ja das ist viel besser dargestellt..nur eine frage, ist das denn egal ob das ein rechteck oder ein zylinder ist? |
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| 14.09.2006, 18:32 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also der satz des pythagoras wäre demnach x^2 + h/2^2 = r^2 |
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| 14.09.2006, 18:39 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine "künstlerischen Fähigkeiten" (wers glaubt...) beschränken sich eher auf zweidimensionales, deshalb stell dir bitte das Rechteck einfach als Zylinder vor. Wichtig ist hier eigentlich nur, dass man den Radius der Kugel erkennt und dann noch die Stelle x beachtet, an der geschliffen wird. Wenn also rechts und links an der Kugel herumgeschliffen wird, entsteht automatisch eine bestimmte Höhe des Zylinders. Kannst du soweit folgen? Wenn ja, die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet: Als Funktion in Abhängigkeit von x ausgedrückt (wenn an der Stelle x geschliffen wird) , wäre es dann Jetzt musst du nur noch versuchen die Höhe h des entstehenden Zylinders durch den Satz des Pythagoras auszudrücken (siehe das rechtwinklige Dreieck in meiner Zeichung). Gruß Björn |
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| 14.09.2006, 18:43 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay...also dann stelle ich den satz des pythagoras nach h um und denn hab ich h= wurzel aus 4r^2 - 4x^2 oder? |
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| 14.09.2006, 18:48 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, prima 
Du könntest jetzt noch die 4 unter der Wurzel ausklammern und dann teilweise die Wurzel ziehen, dann entsteht ein etwas schönerer Ausdruck für h - kannst du das? Edit: Ach ja, und für r kannst du dann auch den gegebenen Kugelradius einsetzen. |
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| 14.09.2006, 18:51 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mh..wüsste jetzt nicht wie...in sowas bin ich richtig schlecht... aber dann muss ich das h doch nurnoch in die V(r) funktion einsetzen und das ausrechnen und dann hab ich das ergebnis oder? |
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| 14.09.2006, 18:56 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja ok, ich zeigs dir mal : Richtig, h kannst du jetzt in V(x) einsetzen und dann mit den Extremstellen usw. loslegen - viel Spass dabei
Kannst deine Ergebnisse ja mal zum Vergleichen posten. Gruß Björn |
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| 14.09.2006, 18:58 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
japp mach ich...okay danke...ich muss jetzt so ne stunde weg, aber wenn ich das dann ausgerechnet habe poste ich mein ergebnis..!
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| 14.09.2006, 19:00 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar - und noch eines vielleicht: Die Skizze aus dem Buch bezieht sich auf nen Kegel nicht auf nen Zylinder (war diese andere Teilaufgabe) Habs aber auch erst nicht gerafft
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| 14.09.2006, 21:54 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aalso...hab das jetzt mal angefangen zu rechnen...komm aber mal wieder denn doch nicht weiter.. hab ja das h eingesetzt und dann kam raus : V(r)= r^2*pi * 2*wurzel r^2 - x^2 und dann weiter, also umgeformt =16pi * 8 * wurzel x^2 oder?? aber wie leite ich diese wurzel ab? |
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| 14.09.2006, 22:11 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, kann gerade nicht nachvollziehen wie du auf diese Umformung kommst. Es gilt: Das musst du jetzt mit der Produktregel ableiten. Kommst du damit klar? Gruß Björn |
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| 14.09.2006, 22:14 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
in der wurzel steht 16 - x^2 oder? den wert für x hab ich doch noch gar nicht? hm produktregel sagt mir nicht soo viel grad.. hab ich dann nicht V(r) =16pi * 2 * wurzel aus 16 - x^2 ? und das dann umformen? |
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| 14.09.2006, 22:27 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Huch, entschuldige Louisa. Hab mich da etwas mit dem x und r verzettelt 
Es muss so lauten: Wegen dem Ableiten: Fasse V(x) als Produkt von zwei Funktionen u(x) und v(x) auf, also und Wenn du also V(x) ableiten willst musst du so vorgehen: V ' (x) = u ' (x)*v(x) + u(x)* v ' (x) Kommst du damit klar ? EDIT: Habs jetzt mal in all meinen Posts verbessert |
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| 14.09.2006, 22:31 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie leite ich denn pi ab?? also ich würde das jetzt so machen : u'(x) = 4*pi*x ? und v(x) = 1 / 2* wurzel aus 16 - x^2 ?? ich kann nicht ableiten.. |
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| 14.09.2006, 22:47 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
v '(x) stimmt fast... du musst noch mit der inneren Ableitung multiplizieren. Und nun nur noch in die "Produktregelformel" einsetzen. Björn |
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| 14.09.2006, 22:59 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ooh man... also dann hab ich V'(x) = ( 4*pi*x* wurzel aus 16 - x^2 ) - (2*pi*x^2* (-x/wurzel aus 16 - x^2)) ? aber wie stell ich sowas denn dann um? ich hab das noch nie gelernt.. |
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| 14.09.2006, 23:09 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habs auch mal durchgerechnet - also jetzt die Extremstellen bestimmt... Nicht besonders tolle Werte - aber da muss man leider durch
Als nächstes würde ich die erste Ableitung gleich null setzen und nach x auflösen (macht keinen Spass, das sag ich dir) Gruß Björn |
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| 14.09.2006, 23:13 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
och mann...ich kann das nicht...ich weiß nicht wie ich das ausrechnen soll wenn ich die gleich null setze..wie kriege ich denn das x unter der wurzel weg? |
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| 14.09.2006, 23:20 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schreibe dir vorsichtshalber nochmal die richtige Ableitung hier hin: Wenn du diese Ableitung gleich null setzt bringe am besten den Term nach dem minus erstmal auf die andere Seite, dividiere dann auf beiden Seiten der Gleichung durch 2pi und quadriere dann auf beiden Seiten. Dadurch fallen schonmal die Wurzeln weg. |
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| 14.09.2006, 23:27 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also wenn ich den rechten term auf die andere seite bringe, dann hab ich ja sozusagen da wo jetzt ein minus ist das gleich? aber wie kann ich denn dann durch 2pi teilen? einfach so? also das dann das pi auf der einen seite ganz weg ist? und wie quadriere ich? also mit nem befehlsstrich oder wie? |
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| 14.09.2006, 23:34 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau. Zähler und Nenner müssen quadriert werden |
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| 14.09.2006, 23:42 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay... hab ich dann x^5 / 16 - x^2 = 64pi^2 * x^4 ? |
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| 14.09.2006, 23:55 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab ich leider nicht so... Sei mir nicht böse aber ich bin total kaputt und muss morgen wieder früh raus. Die Aufgabe dauert noch seeeeeeeeeeeeeehr lang und das pack ich heute nicht mehr. Habe die Lösung bei mir stehen und wenn du es doch noch hinbekommst (würde an deiner Stelle aber auch mal ne Pause machen) können wir ja morgen vergleichen. Wenn du doch noch den Ehrgeiz hast die Aufgabe unbedingt heute zu lösen, gib mal bei google holzkugel zylinder abgeschliffen ein. Im zweiten Ergebnis haben das schonmal ein paar Leute durchgerechnet - vielleicht kannst du da ja noch was mit anfangen. Also, ich wünsche dir ne gute Nacht - kannst ja nochmal schreiben, falls du es noch hingekriegt hast. Bis dann 
Gruß Björn |
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| 15.09.2006, 00:02 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja hm ist kein problem.. naja morgen brauche ich die lösung nicht mehr, da ich die aufgabe morgen abgeben muss..aber macht nix..krieg es ja eh nicht hin... aber danke |
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| 15.09.2006, 00:06 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achjee, sach doch nicht sowas. Meinst du mit "abgeben muss", dass es benotet wird ? Dann würde ich an deiner Stelle die Lösung aus dem Beitrag, den ich im letzten Post erwähnt hatte, abschreiben... Verstehen kannst du es ja dann auch später... Naja, bis denn |
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