wahrscheinlichkeit

04.05.2009, 14:36

_bella_

wahrscheinlichkeit

hallo
kann mir jemand bei dieser aufgabe helfen einen tipp geben. ich weiß gar nicht wie ich auf das ergebnis kommen soll.

beim spiel mensch ärgere dich nicht geht eine runde vom startpunkt A bis zum Zielpunkt rechts neben A

a)wie oft muss man für solche runden mit 40 feldern durchschnittlich würfeln, wenn man außer acht lässt, dass man auch geschlagen werden kann.

04.05.2009, 15:01

Mathe_2010?

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Stell dir vor, du müsstest ingesamt n mal würfeln.
Wenn man der Wahrscheinlichkeit Glauben schenkt, müsste dabei wie oft eine 1 fallen? Wie oft eine 2, eine 3 etc. ?

04.05.2009, 15:05

_bella_

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das wären dann 1/6

04.05.2009, 15:07

Mathe_2010?

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Genau!

Das heißt, $\begin{eqnarray*} \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal kommt die jeweils die 1, die 2, etc.
Wie viele Schritte gehst du dann insgesamt?

04.05.2009, 15:10

_bella_

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ich weiß nicht ich würde jetzt 6 oder 7sagen

04.05.2009, 15:15

Mathe_2010?

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Wir haben doch angenommen, dass du ingesamt n mal würfeln musst, um eine ganze Runde zu vollenden. Die 1 kommt beim Würfeln immer mit der Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ . Genauso wie die 2, die 3, die 4, die 5 und die 6.

Wenn du nun n mal würfelst, wie oft kommt dann die 1 vor? $\begin{eqnarray*} \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal.
Das heißt, $\begin{eqnarray*} \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal gehst du mit deiner Spielfigur EINEN Schritt.

Entsprechend gehst du mit ihr auch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal ZWEI Schritte (da du ja auch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal die 2 würfelst)

usw...

Also noch einmal: Wie viele Schritte gehst du dann insgesamt?

04.05.2009, 15:19

_bella_

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12 schritte

04.05.2009, 15:20

Mathe_2010?

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Wie kommst du denn darauf?

04.05.2009, 15:20

_bella_

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nein doch nicht 12 ich meinte 12 mal würfeln

04.05.2009, 15:22

Mathe_2010?

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Dennoch: Wie kommst du darauf?

04.05.2009, 15:24

_bella_

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wahrscheinlichkeit
ich hab einfach ausprobiert bis ich im tr eine ergebnis ohne kommastellen hatte 1/6*12=2

04.05.2009, 15:37

Mathe_2010?

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Interessant...
Löst du so jede Mathe Aufgabe? Einfach solange etwas in den Rechner tippen, bis was nettes dabei rauskommt Finger2

Das Wesen in der Mathematik (und den Naturwissenschaften) ist, dass du VERSTEHST, was du da tust.

Auch wenn ich mir etwas veräppelt vorkomme, hier noch einmal:

Du musst n-mal würfeln. In $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ der Fälle tritt eine 1 auf. Da wir n -mal gewürfelt haben tritt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot n= \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal die 1 auf. Analog gehst du mit der 2 bis 6 vor.
Am Ende kommt also jede Augenzahl $\begin{eqnarray*} \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal vor.
Das bedeutet du gehst insgesamt $\begin{eqnarray*} \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal EINEN Schritt, $\begin{eqnarray*} \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal ZWEI Schritte, $\begin{eqnarray*} \frac{n}{6} \end{eqnarray*}$ mal DREI Schritte usw.

Insgesamt also:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{6}\cdot 1 Schritt+\frac{n}{6}\cdot 2 Schritte+\frac{n}{6}\cdot 3 Schritte+\frac{n}{6}\cdot 4 Schritte+\frac{n}{6}\cdot 5 Schritte+\frac{n}{6}\cdot 6 Schritte \end{eqnarray*}$

und das soll gleich 40 Schritte sein. Setze also 40 Schritte mit dem Term oben gleich ("Term oben" = 40 Schritte) und löse nach n auf.

Darf ich fragen, in welcher Klassenstufe du bist?

04.05.2009, 16:29

_bella_

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bin in der neunten
unglücklich

sorry ich hab die aufgabe ja wirklich nicht verstanden und veräppeln wollte ich niemanden ach ja und nein ich löse nicht alle aufgaben einfach so ich hab das jetzt wirklich nur hier gemacht, weil ich die aufgabe wirklich nicht verstanden habe.

dann hat man also pro wurf durchschnittlich 3,5
40/3,5=11,43
also muss man 11/12 mal würfeln.

ich habe noch eine frage undzwar zu der aufgabe
wie oft muss man durchschnittlich würfeln um vom zielpunkt ins leere haus (a,b,c oder d) zu kommen? Lasse außer Acht, dass man geschlagen werden kann.

da muss ich doch
41/3,5=11/12 Würfe für a
42/3,5=12 würfe b
43/3,5=12/13 würfec
44/3,5=12/13 würfe d

04.05.2009, 16:31

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Zitat:

Original von Mathe_2010?
Insgesamt also:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{6}\cdot 1 Schritt+\frac{n}{6}\cdot 2 Schritte+\frac{n}{6}\cdot 3 Schritte+\frac{n}{6}\cdot 4 Schritte+\frac{n}{6}\cdot 5 Schritte+\frac{n}{6}\cdot 6 Schritte \end{eqnarray*}$

und das soll gleich 40 Schritte sein.

So einfach, wie du das Problem siehst, ist es allerdings auch nicht. Der Erwartungswert ist nur ein linearer Operator, und so gilt z.B. für den nichtlinearen Zusammenhang $\begin{eqnarray*} N = \frac{40}{X} \end{eqnarray*}$ mit Augenzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und Schrittzahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ keineswegs $\begin{eqnarray*} E(N) = \frac{40}{E(X)} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Richtig betrachtet übersteigt es allerdings den Rahmen des in der Schulstochastik zumutbaren, so dass ich vermute, dass die Aufgabensteller auch nicht ganz Herr ihrer Sinne waren, als sie diese Aufgabe so stellten. Augenzwinkern

Wie dem auch sei, hier eine mögliche korrekte Lösung:

Es seien $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ die einzelnen gewürfelten Augenzahlen, sowie $\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ deren Partialsumme, die dann der Position der Spielfigur entspricht. Genaugenommen sucht man dann nach der Verteilung von

$\begin{eqnarray*} N = \min\left\{ n \bigm| S_n \geq K \right\} \end{eqnarray*}$

für eine vorgegebene Schranke $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ (hier K=40 oder K=39, geht nicht so genau aus der Aufgabenstellung hervor) bzw. eigentlich "nur" dessen Erwartungswert. Aus der Definition der Schrittzahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist dann

$\begin{eqnarray*} P(N \geq n) = P(S_{n-1} < K) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$

ableitbar, womit man schließlich den Erwartungswert

$\begin{eqnarray*} E(N) = \sum_{n=1}^{\infty} P(N\geq 1) = \sum_{n=0}^{\infty} P(S_n < K) \end{eqnarray*}$

berechnen kann. Offenbar ist man aber nach maximal $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ Schritten am Ziel, so dass die Summe endlich ist:

$\begin{eqnarray*} E(N) = \sum_{n=0}^{K-1} P(S_n < K) \end{eqnarray*}$ .

Der Rest kann numerisch über die Verteilung der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ erschlagen werden (siehe hier), es kommt z.B. für K=40 der Wert

$\begin{eqnarray*} E(N) \approx 11.904 \end{eqnarray*}$

heraus, was doch ein wenig höher liegt als das naiv angenommene $\begin{eqnarray*} \frac{40}{3.5} \approx 11.429 \end{eqnarray*}$ .

04.05.2009, 16:55

_bella_

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ja danke euch beiden werde mal morgen meinen lehrer fragen

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