Konvergenz von Potenzreihen: Randpunkte

04.05.2009, 17:34

Hängemathe

Konvergenz von Potenzreihen: Randpunkte

Gesucht ist der Konvergenzbereich der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~( - \frac{3}{5})^k x^k \end{eqnarray*}$ sowie das Verhalten an den Randpunkten des Konvergenzbereiches.

Als Konvergenzradius habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ berechnet, also sind meine Randpunkte $\begin{eqnarray*} x_l : - \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_r: \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

Setze ich diese nun ein erhalte ich für $\begin{eqnarray*} x_l \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~1^k \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x_r \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~(-1)^k \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage: In der Musterlösung fehlt beim linken Randpunkt der Exponent k, der Punkt eingesetzt ergibt nach Lösung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~1 \end{eqnarray*}$ . Liege ich falsch oder die Lösung?

Und zudem: Warum ist die Reihe an den Randpunkten divergent aufgrund der Ergebnisse? Woran sehe ich, ob die Reihe an den Randpunkten konvergiert oder divergiert?

04.05.2009, 18:01

tmo

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RE: Konvergenz von Potenzreihen: Randpunkte

Zitat:

Original von Hängemathe
Nun meine Frage: In der Musterlösung fehlt beim linken Randpunkt der Exponent k, der Punkt eingesetzt ergibt nach Lösung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~1 \end{eqnarray*}$ . Liege ich falsch oder die Lösung?

Das ist doch offensichtlich das Gleiche verwirrt

Zitat:

Original von Hängemathe
Und zudem: Warum ist die Reihe an den Randpunkten divergent aufgrund der Ergebnisse? Woran sehe ich, ob die Reihe an den Randpunkten konvergiert oder divergiert?

Indem du die beiden Reihen, die sich durch Einsetzen der Randpunkte ergeben, auf Konvergenz überprüfst. Wie denn sonst?

05.05.2009, 10:43

Hängemathe

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RE: Konvergenz von Potenzreihen: Randpunkte
Stimmt, die erste Frage war wirklich blöd. Ich hatte $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ im Kopf, was ja definitiv nicht das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ . Einfach falsch gedacht von mir gestern.

Reihen konvergieren dann, wenn die Folgen ihrer Partialsummen konvergieren.

Also ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~1 \end{eqnarray*}$ divergent, da die Folge ihrer Partialsummen nicht konvergiert.

Und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~(-1)^k \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls divergent, da die Folge $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ divergiert?

05.05.2009, 10:49

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Potenzreihen: Randpunkte
So ist es. smile

05.05.2009, 11:18

Hängemathe

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Juhu

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