cleverer Lösungsweg

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Mathe_2010? Auf diesen Beitrag antworten »
cleverer Lösungsweg
Gegeben sind alle möglichen Gruppen bestehend aus 3 Zahlen (jeweils von 0 bis 9 also z.B. 022) und es soll berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei einer beliebig herausgegriffenen Gruppe die mittlere Zahl größer als die Summe der äußeren Zahlen ist.

Ich bin dann systematisch vorgegangen:

Das Zahlentripel sei und es sei

Wenn a=0 und c=0, dann gibt es für b 9 Möglichkeiten (1-9)
c=1, -> 8 Möglichkeiten (2-9)
c=2, -> 7 Möglichkeitan (3-9)
...
Wenn a=1 und c=0, dann gibt es für b 8 Möglichkeiten (2-9)
c=1, -> 7 Möglichkeiten (3-9)
...

usw.

So komme ich auf eine Gesamtzahl von: Möglichkeiten. Was mich stört ist dieser langweilige Lösungsweg. Mich würde es sehr interessieren, ob es auch hierzu einen viel eleganteren Weg gibt, der womöglich wieder so abstrakt ist, dass der gemeine Nachwuchsmathematiker nie drauf kommen würde Big Laugh
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ersetze bijektiv durch , dann ist mit Nebenbedingung

, umgeformt .

Die Anzahl solcher Tripel ergibt sich durch Kombinationen von k=8 aus n=4 Elementen mit Wiederholung:

.

Clever genug? Augenzwinkern
Mathe_2010? Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mann! Ihr Genies begeistert mich immer wieder aufs Neue!

Vielen Dank, dir! Freude
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erläutere noch mal die Grundlage der letzten Anzahlberechnung, weil die sicher nicht jedem sofort klar sein dürfte:


Man führt eine künstliche "Schlupfvariable" ein und fragt nach der Anzahl der nichtnegativ ganzzahligen Quadrupel mit

.

Das kann man sich nun so vorstellen: Man hat die Anzahl k=8 von Kugeln und wirft die nun eine nach der anderen in die n=4 Behälter - ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es da die berechneten 165 Möglichkeiten. Die Anzahl Kugeln in den Behältern entsprechen dann den Zahlen .
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