Schwierige Aufgabe!

05.06.2004, 20:00

Willi

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Schwierige Aufgabe!

Hab folgende Aufgabe zu der mir nix einfällt!

Es geht um Weltreserven von Rohstoffen!

code:
1: 2:	Reserven Jahresverbrauch Jährliche Zuwachsrate der Verbrauchs 136t 3.7t 3,14%

Zur Info: es geht um Blei

Jetzt die Aufgaben:

a) In wievielen Jahren werden die Reserven aufgebraucht sein?
b) Wie lange würden die Vorräte reichen, wenn der Jahresverbrauch nicht zunehmen würde

Ich kann mir echt nicht vorstellen wie man das berechnen soll!
Ich brauch nicht die komplette Lösung sondern nur einen Ansatz

05.06.2004, 20:06

Marco_the_Chief

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RE: Schwierige Aufgabe!
zu a)

Du brauchst hier die allgemeine Exponentialfunktion:

y=y0*a^x

y -> Wert nach (hier) bestimmter Zeit -> Verbrauch nach x Jahren

y0 -> Anfangswert -> Anfangsverbrauch/Jahr

a -> Änderungsfaktor -> hier 1,0314

x-> (hier) die Zeit in Jahren

Setze diese Werte in die allgemeine Gleichung ein, stelle sie nach x um und setze für y die Reserven ein, so errechnest Du, wann der Verbrauch den Reserven entspricht

zu b)

ist eine lineare Funktion:

y=m*x+t

t=0 (Anfangs kein Verbrauch)

m = Steigung: Verbrauch/Zeit

05.06.2004, 20:11

Willi

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???

Ich kapier gar nix!
Was ist eine allgemeine Exponentialfunktion und was ist Änderungsfaktor?

05.06.2004, 20:14

Marco_the_Chief

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In welcher Klasse bist Du?

ob a Vergrößerungsfaktor heißt weiß ich nicht, aber ginge es um Geld auf der Bank, dann wäre das "a" gleichbedeutend mit Zinsfaktor

Mit einer Exponentialfunktion stllt man exponentielles Wachstum dar, was hier vorliegt

05.06.2004, 20:14

Willi

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Ach so weis jetzt doch was du meinst!

Aber es ist doch so das im ersten Jahr 3,7 tonnen verbraucht werden
Im zweiten Jahr dann 3,7 + 3.14%; Im dritten 3,7 + 3.14%^2

Jedes Jahr werden von den 136 Tonnen etwas mehr abgezogen!

Wie krieg ich das in eine Funktion?

05.06.2004, 20:15

Willi

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Bin 10te Klasse und kenn Exponentialfunktionen hab aber siehe letzter Post trozdem Probleme.

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05.06.2004, 20:18

Willi

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Also nochmal was ich meine:

Jedes Jahr wird etwas abgezogen (linear)

Aber das was abgezogen wird wird jedes Jahr um den gleichen Faktor gröser (exponentiell)

Ich brauch eine Funktion!

05.06.2004, 20:20

Marco_the_Chief

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Mom, doch nicht so

05.06.2004, 20:24

Marco_the_Chief

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Ich hab etz leider die Formel nicht da,

bist Du auf der Wirtschaftschule?

05.06.2004, 20:25

m00xi

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Ich wundere mich grade, weil ich auch glaube, dass sowas in der Art rauskommen muss. Aber muss es nicht heißen für den gesamtverbrauch seit jahr 0 heißen:
Jahr 1: 3,7
Jahr 2: 3,7+3,7*1.0314
Jahr 3: 3,7+3,7*1.0314+3,7*1.0314^2
Jahr 4: 3,7+3,7*1.0314+3,7*1.0314^2+3,7*1.0314^3

Denn jedes Jahr kommt zum gesamtverbrauch ( den wir ja auf 134 prüfen wollen ) 3,7*1,0314^t hinzu.
???

05.06.2004, 20:27

Willi

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Ja stimmt!
Also die Funktion allein für die Zunahme des Verbrauchs ist also:

3,7*1,0314^x (x: jahre)

Würde jedes Jahr gleich viel verbraucht lautet die Funlktion doch:

136 -3,7*x

Wie krieg ich jetzt beides zusammen?

05.06.2004, 20:27

Marco_the_Chief

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sowas muß auch rauskommen, die Wirtschaftschüler haben in ihrer Formelsammlung eine sog. Rentenformel, die weiß ich aber leider nicht auswendig

Es geht jedenfalls doch nicht mit der von mir oben erwähnten allg. Gleichung, sorry, hatte zu kurz nachgedacht

05.06.2004, 20:30

Willi

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Bin 10te Klasse Gymnasium (keine Wirtschafsschule)

Ich glaub m00xi hat recht, aber wie das alles in eine schöne Funktion?
Geht das überhaupt?

05.06.2004, 20:31

Marco_the_Chief

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wie gesagt, das geht, ist aber eine allg. Form von Gleichung, wie man sie nur schwer im Kopf behält

05.06.2004, 20:37

Willi

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Trozdem Danke! ich werd morgen mal im Internet nachschauen ob ich was finde!

06.06.2004, 02:45

WebFritzi

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Warum im Internet suchen, wenn du auch hier was finden kannst? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Grundlegend bei der ganzen Sache ist die geometrische Summe. Sei q eine Zahl, dann nennen wir

$\begin{align*} s_n := \sum_{k=0}^{n} q^k = q^0 + q^1 + q^2 + ... + q^n \end{align*}$

eine geometrische Summe. Es ist

$\begin{align*} s_n\ \ = q^0 + q^1 + q^2 + ... + q^n \end{align*}$
$\begin{align*} q\cdot s_n = \ \ \ \ \ q^1 + q^2 + ... + q^n + q^{n+1} \end{align*}$ .

Subtrahieren wir diese beiden Gleichungen voneinander, so ergibt sich

$\begin{align*} (1 - q) s_n = s_n - q\cdot s_n = q^0 - q^{n+1} = 1 - q^{n+1} \end{align*}$ ,

denn $\begin{align*} x^0 = 1 \end{align*}$ für alle reellen Zahlen x. Daraus folgt

$\begin{align*} s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{align*}$ .

Somit haben wir eine einfache Formel für die geometrische Summe gefunden.

So. Nun hat m00xi bereits den Verbrauch nach n Jahren errechnet:

Zitat:

Jahr 1: 3,7
Jahr 2: 3,7+3,7*1.0314
Jahr 3: 3,7+3,7*1.0314+3,7*1.0314^2
Jahr 4: 3,7+3,7*1.0314+3,7*1.0314^2+3,7*1.0314^3

Setzen wir $\begin{align*} q = 1.0314 \end{align*}$ , so ist der Verbrauch nach n Jahren also

$\begin{align*} 3.7\cdot q^0 + 3.7\cdot q^1 + 3.7\cdot q^2 + ... + 3.7\cdot q^{n-1} \end{align*}$
$\begin{align*} = 3.7 \cdot \( q^0 + q^1 + q^2 + ... + q^{n-1} \) \end{align*}$
$\begin{align*} = 3.7 \cdot s_{n-1} \end{align*}$
$\begin{align*} = 3.7 \cdot \frac{1 - q^{n}}{1-q} \end{align*}$ .

So. Und dieser soll nach n Jahren gleich 136 sein. Also setzt du den letzten Term in einer Gleichung mit 136 gleich und löst nach n auf.

06.06.2004, 12:46

Marco_the_Chief

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sauber @WebFritzi,

die Gleichung die Du da hergeleitet hast, meinte ich.

Wußte sie aber nicht herzuleiten

06.06.2004, 16:02

Willi

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Dankeschön! Mit Zunge

Mit Zunge

Gut erklärt!

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