offene Überdeckung / halboffenes Intervall

04.05.2009, 20:57	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
offene Überdeckung / halboffenes Intervall Hallo! Ich versuche gerade den Begriff der Kompaktheit zu verstehen- Nach dem Satz von Heine-Borel ist ja das halboffene Interval (0,1] nicht kompakt. Jetzt habe ich versucht über die allgemeine Definition der Kompakt eine offene Überdeckung für das Intervall zu finden, zu der es keine endliche Teilüberdeckung existiert. Nur leider komme ich nicht weiter... Meine Idee war das offene Intervall $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}\right)\cup\{1\}, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Zum Verständnis: Meine Idee war, dass das Intervall am linken Rand ggn 0 konvergiert, sie jedoch nie erreicht, und am rechten Rand sich immer mehr der 1 nähert, sie aber nie erreicht, deshalb das Intervall vereinigt mit 1. Mein Problem ist nun der Begriff der endlichen Teilüberdeckung. Wäre eine endlich Teilüberdeckung dieses Intervalls nun ein festes n? Z.B. n = 2000?
04.05.2009, 23:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge $\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{n} \, , \, 1 - \frac{1}{n} \right) \cup \{ 1 \} \end{eqnarray}$ ist erstens kein Intervall (was hier nicht weiter schlimm wäre) und zweitens nicht offen (was schon bedeutend ärgerlicher ist). Zunächst einmal: Was heißt "offen"? Es geht um den topologischen Raum $\begin{eqnarray} X = (0,1] \end{eqnarray}$ mit der von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ induzierten euklidischen Topologie. Offen in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sind alle Mengen, die sich als Schnitte von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit Mengen, die offen in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sind, schreiben lassen (Spurtopologie). Es geht also, um es noch einmal ausdrücklich zu sagen, nicht um die Offenheit in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , sondern um die Offenheit in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . So ist zum Beispiel $\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{2} \, , \, 1 \right] \end{eqnarray}$ eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Denn es gilt $\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{2} \, , \, 1 \right] = X \cap \left( \frac{1}{2} \, , \, 3 \right) \end{eqnarray}$ Die Menge ist also Schnitt von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit einer in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ offenen Menge, also offen in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Und jetzt sollte es dir nicht mehr schwer fallen, eine offene Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung anzugeben. Wie gesagt: Offenheit in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ !
05.05.2009, 08:54	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen. Ich hatte das Wort "offen" in diesem Zusammenhang komplett falsch verstanden. Meine Idee ist nun: $\begin{eqnarray} (0,1] = \bigcup_{n\in\mathbb N}\left(\frac{1}{n},1\right] \end{eqnarray}$
05.05.2009, 16:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »

05.05.2009, 18:16	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen dank! Zur Übung habe ich mich gleich noch daran gewagt zu zeigen, dass der $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ nicht kompakt ist. Meine Überlegung war, wenn ich offene "Kugeln" nehme, wie man sie aus den metrischen Räumen kennt ( $\begin{eqnarray} \mathrm B_r(x) = \{y\in X; d(x,y) < r\} \end{eqnarray}$ ) Dann kann der $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ nicht kompakt sein, denn $\begin{eqnarray} \mathbb R^n = \bigcup_{n\in\mathbb%20N}\mathrm B_n(0) \end{eqnarray}$
05.05.2009, 18:21	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Das ist korrekt, dies ist eine offene Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung. Du musst übrigens aufpassen: Verwende $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ nicht gleichzeitig für den $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und als Laufindex in der Vereinigung.
Anzeige

05.05.2009, 18:39	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, vielen Dank euch zwei

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »