Linkseigenvektor

05.05.2009, 17:21

eierkopf1

Linkseigenvektor

Hallo!

Folgendes soll gezeigt werden:

$\begin{eqnarray*} A \in \mathbb K^{n \times n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist ein EW mit der geometrischen Vielfachheit $\begin{eqnarray*} \rho(\lambda) \end{eqnarray*}$ von A. Zeigen Sie, dass es dann auch einen Linkseigenvektor $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ (ungleich 0) gibt, sodass $\begin{eqnarray*} y^t A = \lambda y ^t \end{eqnarray*}$ .
Außerdem soll gezeigt werden, dass die Menge dieser Linksvektoren (vereingit mit {0}) einen Untervektorraum der Dimension $\begin{eqnarray*} \rho(\lambda) \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ bildet.

Es soll also gezeigt werden, wenn es "Rechtseigenvektorn" gibt, auch "Linkseigenvektorn" existieren und dass die Dimension der Eigenräume gleich ist.

Was ich bis jetzt habe:

$\begin{eqnarray*} y^t A = \lambda y ^t \end{eqnarray*}$

Transponieren auf beiden Seiten:
$\begin{eqnarray*} (y^t A)^t = \lambda y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^ty = \lambda y \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich, dass die transponierte Matrix von A die selben EW hat wie A?

Und wie zeige ich, dass die geometrische Vielfachheit beim Transponieren gleich bleibt?

mfg

05.05.2009, 19:20

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von eierkopf1
Wie zeige ich, dass die transponierte Matrix von A die selben EW hat wie A?

Mithilfe des charakteristischen Polynoms.

Zitat:

Original von eierkopf1
Und wie zeige ich, dass die geometrische Vielfachheit beim Transponieren gleich bleibt?

Nutze die Dimensionsformel.

05.05.2009, 23:39

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Mithilfe des charakteristischen Polynoms.

$\begin{eqnarray*} P_A(t) = \det(A-tI) = \det(A^t -t I) = P_{A^t}(t) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MathespezialschülerNutze die Dimensionsformel.

Hier weiß ich nicht, wie ich die benützen soll. Wie meinst du das?

06.05.2009, 00:51

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} P_A(t) = \det(A-tI) = \det(A^t -t I) = P_{A^t}(t) \end{eqnarray*}$

Einen Schritt mehr solltest du als Begründung schon noch geben. Warum sind die beiden mittleren Determinanten gleich?

Der Rang einer Matrix ist gleich dem Rang der Transponierten. Wende dies auf die Matrix $\begin{eqnarray*} A-\lambda E \end{eqnarray*}$ an, erinnere dich, was der Rang ist und nutze dann die Dimensionsformel.

06.05.2009, 09:22

eierkopf1

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@1.:

$\begin{eqnarray*} \det (A) = \det (A^t) \end{eqnarray*}$
(Könnte man mit dem Entwicklungssatz von Laplace beweisen, dass auch die Linearität in den Spalten vorhanden ist.)

Durch $\begin{eqnarray*} A-tI \end{eqnarray*}$ werden nur die Diagonalelemente verändert, die beim Transponieren gleich bleiben.
Dh, $\begin{eqnarray*} (A-tI)^t = (A^t -tI) \end{eqnarray*}$ .

@2.:

$\begin{eqnarray*} Rg(A -\lambda I) = k \end{eqnarray*}$

Der Eigenraum zum EW $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} Ker(A -\lambda I). \end{eqnarray*}$

Nach der Dimensionsformel gilt:
$\begin{eqnarray*} \dim K = n= k + \dim Ker(A -\lambda I) \end{eqnarray*}$

Da Zeilenrang = Spaltenrang gilt: $\begin{eqnarray*} Rg(A -\lambda I) = Rg(A^t -\lambda I)= k \end{eqnarray*}$

Wegen der Dimensionsformel gilt: $\begin{eqnarray*} \dim Ker(A -\lambda I)= \dim Ker(A^t -\lambda I) = \rho ( \lambda ) \end{eqnarray*}$

Dh, der Raum der Linkseigenvektoren vereinigt mit dem Nullvektor ist ein Untervektorraum der Dimension $\begin{eqnarray*} \rho ( \lambda ) \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das so?

06.05.2009, 23:07

Mathespezialschüler

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Ja.

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