Stetigkeit komplexer Funktionen

05.05.2009, 19:03

Huggybeer

Stetigkeit komplexer Funktionen

Hi,

ich soll demnächst einen Vortrag über Stetigkeit bei komplexen Funktionen halten. Ich hab in einigen Büchern gesucht, aber nix gefunden was mir großartig weiterhelft.

Zunächstmal die genaue Aufgabenstellung:

1)Geben sie die Definiton der Stetigkeit bei komplexen Funktionen an und erläuertern Sie diese

2)Zeigen sie anhand der $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ - Definition die Stetigkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} \forall z \in \mathbb{C} : f(z)=z^2 \end{eqnarray*}$

3)Beweisen Sie die Summen- und Produktregel für stetige Funktionen.

4)Entscheiden sie ob stetig oder nicht:
- $\begin{eqnarray*} f(z)=z^2-3z+0,5 \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} f(z)=z^4-z^{-2} \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{iz^2-7i+2}{z^2-4z+3} \end{eqnarray*}$

Zu 1)

Definition Stetigkeit:

Sei M $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} z_0 \in \mathbb{c} \end{eqnarray*}$ . Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:M \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ heisst stetig in z_0 wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 ~ \exists~ \delta >0 ~~\forall z \in M: ~ |z-z_0|< \delta ~\Rightarrow ~ |f(z)-f(z_0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

dazu: das ist doch genau die gleiche Definition wie bei reellen Zahlen oder? könnte mir bitte nochmal jemand verdeutlichen was das Delta und Epsilon in dieser Formel genau darstellen bzw. wie sie mit einander zusammenhängen?

zu 2)
Ich bewege mich zwar im Bereich der komplexen Zahlen, aber in der Funktion kommt ja kein i vor. Heisst das jetzt ich kann ganz normal wie bei reellen zahlen rechnen oder is das so gemeint, dass z eine komplexe zahl is (also der bauart z=x + iy) ?

wenns "normal" gerechnet wird, würd ichs so machen:

$\begin{eqnarray*} |f(z)-f(z_0)|=|z^2-z_0^2|=(z-z_0) \cdot (z+z_0)< \delta |z+z_0| < \delta |\frac{z_0}{2} + z_0|= \delta \frac{3}{2}z_0<\epsilon \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} |z-z_0|<\delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z<\frac{z_0}{2} \end{eqnarray*}$

zu 3) und 4) schreib ich dann erst was wenn 1) und 2) von mir 100% richtig verstanden wurden

schon mal danke für die Hilfe,
gruß Huggybeer

05.05.2009, 19:33

Mathespezialschüler

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Hallo!
$\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ soll hier eine komplexe Zahl sein. Mit denen kann man aber meistens auch so rechnen wie mit reellen Zahlen, solange man sich bei Ungleichungen auf Beträge beschränkt.

Zitat:

Original von Huggybeer
wenns "normal" gerechnet wird, würd ichs so machen:

$\begin{eqnarray*} |f(z)-f(z_0)|=|z^2-z_0^2|=(z-z_0) \cdot (z+z_0)< \delta |z+z_0| < \delta |\frac{z_0}{2} + z_0|= \delta \frac{3}{2}z_0<\epsilon \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} |z-z_0|<\delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z<\frac{z_0}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist selbst im Reellen falsch, die Beträge darf man auch da nicht weglassen! Korrekterweise könnte es z.B. so lauten:

$\begin{eqnarray*} |f(z)-f(z_0)|=\left|z^2-z_0^2\right|=|z-z_0| \cdot |z+z_0|<\delta (|z|+|z_0|)\leq\delta(|z-z_0|+2|z_0|)<\delta(\delta+2|z_0|)\leq \delta\cdot (3|z_0|+1)\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \delta:=\min\left\{\frac{\varepsilon}{3|z_0|+1},|z_0|+1\right\} \end{eqnarray*}$ .

05.05.2009, 21:25

Huggybeer

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die Beträge hab ich einmal aus versehen weggelassen, aber was sonst falsch is seh ich nich.

bei deiner lösung versteh ich den letzten Schritt nich, wär nett wenn du das mal kurz erläutern könntest:
$\begin{eqnarray*} \delta (\delta + 2|z_0|)\le \delta \cdot 3|z_0| \end{eqnarray*}$

Auch das, dass man bei Delta noch ein Minimum wählen muss hab ich so noch nie gesehen und verstehs jetzt momentan nich so ganz (wir hatten das Thema Stetigkeit zwar kurz angesprochen, doch epsilon-delta Beweise fast nie gemacht, immer nur die andere Definiton mit lim genutzt....)

Ich hab mich jetzt nochmal schlau gemacht und mir verinnerlicht was epsilon und Delta zu Bedeuten haben:

Ausformuliert bedeutet die Definition, dass man zu jeder noch so kleinen Umgebung Epsilon um den Funktionswert f(x) eine kleine Umgebung Delta um den x-Wert finden kann, so dass diese Umgebung Delta komplett in die Umgebung Epsilon abgebildet wird.

Trotzdem kann ich mir das mit dem Minimum momentan nich vorstellen... Hammer

05.05.2009, 22:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Huggybeer
$\begin{eqnarray*} \delta |z+z_0|<\delta |\frac{z_0}{2} + z_0| \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} |z-z_0|<\delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z<\frac{z_0}{2} \end{eqnarray*}$

So wie die Ungleichung da steht, ist sie falsch. Mit Beträgen könnte man das verhindern. Allerdings tritt ein Problem auf. $\begin{eqnarray*} z<\frac{z_0}{2} \end{eqnarray*}$ ist nicht sinnvoll, selbst mit Beträgen nicht. Denn wenn $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sehr klein wird (was passieren wird, sobald auch $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ klein vorgegeben ist), dann widersprechen sich die beiden Ungleichungen $\begin{eqnarray*} |z-z_0|<\delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |z|<\frac{|z_0|}{2} \end{eqnarray*}$ sehr schnell, z.B. für $\begin{eqnarray*} \delta\leq \frac{|z_0|}{2} \end{eqnarray*}$ . Du musst aufpassen, welchen Bereich dir dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ vorgibt und kannst nicht irgendwie beliebig fordern, was dir am liebsten ist.

Zu dem Minimum: Mir ist noch ein kleiner Fehler aufgefallen, für $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ hat das vorher nicht funktioniert. Ich hab es jetzt nochmal geändert. Und warum das mit dem Minimum da steht, ist nicht so schwierig. Du wolltest ja bei deiner Ungleichung oben auch zwei Bedinungungen an $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nutzen. Du hast sie aber so unglücklich gewählt, dass sie sich widersprechen. Und du hättest vor allem das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ auch angeben müssen. Die Definition sagt ja: Du bekommst ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ und sollst dazu ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von diesem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ bestimmen, sodass diese Bedingung aus der Definition gilt.

Ich benutze nun bei meiner Abschätzung auch zwei Ungleichungen, nämlich einmal $\begin{eqnarray*} \delta\leq |z_0|+1 \end{eqnarray*}$ und danach $\begin{eqnarray*} \delta\leq\frac{\varepsilon}{3|z_0|+1} \end{eqnarray*}$ . Und nun muss man nur noch gucken, wie man das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählen kann, damit es diese Bedingungen erfüllt und das geht z.B. durch das obige Minimum, da dann beide Ungleichungen gerade erfüllt sind.

05.05.2009, 22:23

Huggybeer

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ok, ich glaub ich habs gecheckt... also schon mal danke bis dahin, ich schlaf jetzt mal ne runde drüber und morgen mach ich dann denk ich die anderen beiden aufgaben und hab vllt noch die ein oder andere allgemeine frage.

gruß huggybeer

06.05.2009, 17:08

Huggybeer

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so, also des mit dem Minimun is einleuchtend, aber den einen Umformungsschritt : $\begin{eqnarray*} \delta (\delta + 2|z_0| ) \le \delta (3 \cdot |z_0|+1) \end{eqnarray*}$ hab ich immer noch nich nachvollziehen können.

Noch ne andere Frage: um die Definition zu erläutern hab ich ein schönes Schaubild gefunden:

Das Bild is ja für reelle Funktionen. Ich wollte nun wissen ob dies auch genauso für den Komplexen Bereich gilt (also einfach an die y-Achse ein i schreiben?

06.05.2009, 18:34

Huggybeer

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Ich hab jetzt auch mal mit der Nr. 3 angefangen und schon wieder gemerkt, dass ich mit dem Delta einfach nich klar komm.

Zunächst mal f +g stetig:
$\begin{eqnarray*} |f(x) +g(x) - (f(x_0) + g(x_0))| = |f(x)-f(x_0) + g(x)-g(x_0)| \le \epsilon \end{eqnarray*}$

Wie bau ich jetzt hier mein Delta ein?

Bei der Multiplikation hab ich genau das gleich Problem, wobeis hier glaub ich komplizierter is:
$\begin{eqnarray*} |f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)| = |f(x)g(x) - f(x)g(x_0) + f(x)g(x_0) -f(x_0)g(x_0)|=|f(x)(g(x)-g(x_0))+(f(x)-f(x_0))g(x_0)|=\newline \newline<br /> |f(x)(g(x)-g(x_0))-f(x_0)(g(x)-g(x_0))+f(x_0)(g(x)-g(x_0))+(f(x)-f(x_0))g(x_0)|\newline<br /> (f(x)-f(x_0))(g(x)-g(x_0)) + f(x_0)(g(x)-g(x_0))+(f(x)-f(x_0))g(x_0) \le \epsilon \end{eqnarray*}$

06.05.2009, 22:48

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Huggybeer
so, also des mit dem Minimun is einleuchtend, aber den einen Umformungsschritt : $\begin{eqnarray*} \delta (\delta + 2|z_0| ) \le \delta (3 \cdot |z_0|+1) \end{eqnarray*}$ hab ich immer noch nich nachvollziehen können.

Ich habe $\begin{eqnarray*} \delta:=\min\left\{\frac{\varepsilon}{3|z_0|+1},|z_0|+1\right\} \end{eqnarray*}$ gewählt, insbesondere ist $\begin{eqnarray*} \delta\leq |z_0|+1 \end{eqnarray*}$ und nichts anderes als das habe ich dort oben benutzt.

Zitat:

Original von Huggybeer
Das Bild is ja für reelle Funktionen. Ich wollte nun wissen ob dies auch genauso für den Komplexen Bereich gilt (also einfach an die y-Achse ein i schreiben?

Nein, eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kannst du im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ zeichnen. Eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , da bräuchte man den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , um dies zu zeichnen.

Zu der Summe: Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} \delta_1,\delta_2>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |g(x)-g(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta_2 \end{eqnarray*}$ . Setze dann $\begin{eqnarray*} \delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\} \end{eqnarray*}$ . Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta_2 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} |(f(x)+g(x))-(f(x_0)+g(x_0))|=|(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))|\leq |f(x)-f(x_0)|+|g(x)-g(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ .

Bei Produkt macht man es analog, wobei es da etwas komplizierter ist. Deine Umformung sind allerdings zu kompliziert. Es reicht eine Umformung der Form

$\begin{eqnarray*} |f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)|=|f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |f(x)-f(x_0)|\cdot |g(x)|+|f(x_0)|\cdot |g(x)-g(x_0)| \end{eqnarray*}$

06.05.2009, 23:02

Huggybeer

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ok, also schon mal vielen dank bis dahin, ich werde mir das ganze jetzt erstmal richtig verinnerlichen und dann morgen oder übermorgen mich nochmal mit meiner Professorin zusammensetzen und das durchgehn.

Das ganze epsilon-delta zeug nervt mich halt gewaltig, mit der lim definition gehts find ich einfacher

die 4. aufgabe werd ich dann auch nochmal hiereinstellen...mal sehn ob ichs dann kompletto verstanden hab

also nochmals danke, gruß huggybeer

27.05.2009, 10:02

Huggybeer

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Hallo nochmal,

ich war gestern endlich bei meiner Professorin und die Aufgaben waren eigentlich alle richtig bearbeitet, das einzige was noch nich ganz astrein ist, ist der Beweis der Produktregel:

Vorr.: g(x), f(x) sind stetig,also $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_1 >0 \quad\forall x in M: \quad |z-z_0|<\delta_1 \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_2>0 \quad\forall x in M: \quad |z-z_0|<\delta_2 \Rightarrow |g(x)-g(x_0)|< \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

in der letzten Zeile des Beweises steht:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)||g(x)| + |f(x_0||g(x)-g(x_0)| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

das Problem ist hier das g(x). Muss es abschätzen, da delta sonst auch von x und nicht nur von epsilon abhängt. Allerdings weiss ich nich so ganz wie ich das abschätzen soll. Was mir spontan dazu einfällt wär:
$\begin{eqnarray*} |g(x)|=|g(x)-g(x_0)+g(x_0)| < \delta_2 + |g(x_0)| \end{eqnarray*}$ .

Dann hat sie gemeint ich muss da aufpassen mit dem delta weil ich mich sonst im Kreis drehe.
Ich weiss, dass $\begin{eqnarray*} \delta_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ abhängt. Außerdem hängt es auch irgendwie am anderen $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ und somit an $\begin{eqnarray*} \delta_1 \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte jemand sagen wie ich das Problem mathematisch sauber in den Griff krieg?

27.05.2009, 19:49

Huggybeer

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ok, also in meinem letzten beitrag war ein fehler drin, aber egal, ich denk ich habs hingekriegt.

trotzdem nochmal danke für dir hilfe.

gruß huggybeer

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