Gaussches Verfahren mit 4 Termen, 4 Unbekannten und krassen Zahlen

05.05.2009, 17:11

Null-in-Mathe

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Gaussches Verfahren mit 4 Termen, 4 Unbekannten und krassen Zahlen

hi leute. ich kriege jedes mal andere ergebnisse raus hier, bin auch alles andere als ne leuchte in mathe.

gesucht in die ganz rationale funktion 3. grades, die folgende punkte kreuzt:

$\begin{eqnarray*} g(12) = \frac{74}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(14) = \frac{78}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(18) = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(24) = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

ganz rationale funktion 3. grades bedeuted hoffentlich folgendes ungeheuer:

$\begin{eqnarray*} a_3*x^{3} + a_2*x^{2} + a_1*x^{1} + a_0 \end{eqnarray*}$

Ich kriege jedes mal andere Werte raus und wenn ich ne Probe mache, stimmts natürlich nicht. Erstaunt2

Erstaunt2

habe erst potenten ausgerechnet und brüche beseitigt. oft passierte dann sowas, daß ich zeilen in einem schritt komlett auf null setzen könnte, diese aber dann negative behauptungen aufstelle, wie zB 0 = 78...

ich stecke tief in der Klo

Klo

, weil ich das für eine prüfung in 2 wochen dringend brauche. hab beruflich mit mathe nix zu tun, aber in der prüfung brauche ich es halt geschockt

geschockt

05.05.2009, 17:18

vektorraum

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RE: Gaussches Verfahren mit 4 Termen, 4 Unbekannten und krassen Zahlen
Willkommen

Willkommen

im Matheboard.

Schreibe doch mal deine Gleichungen hin, wenn du deine gegebenen Punkte einsetzt. Der Ansatz ist zumindest schon mal richtig.

Wir überprüfen dann, ob schon beim Einsetzen der erste Fehler passiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2009, 17:51

Null-in-Mathe

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die matrix ist wie folgt aufgebaut:

$\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12^{3} & 12^{2} & 12 & 1 & {74}/{5} \\ 14^{3} & 14^{2} & 14 & 1 & {78}/{5} \\ 18^{3} & 18^{2} & 18 & 1 & 3 \\ 24^{3} & 24^{2} & 24 & 1 & {1}/{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also erst mal so, direkt die potenzen ausgerechnet und brüche beseitigt:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 8640 & 720 & 60 & 5 & 74 <br /> \\ 13720 & 980 & 70 & 5 & 78<br /> \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 <br /> \\ 69120 & 2880 & 120 & 5 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich:

II von I subtrahiert
III von II subtrahiert
I von IV subtrahiert

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> -5080 & -260 & -10 & 0 & -4 <br /> \\ -55400 & -1900 & -50 & 0 & 73<br /> \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 <br /> \\ 60480 & 2160 & 60 & 0 & -69 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

I Zeile mit (-6) multipliziert
II Zeile dann (-5 * I ZEILE) hinzuaddiert

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 30480 & 1560 & 60 & 0 & 24 <br /> \\ -30000 & -600 & 0 & 0 & 93<br /> \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 <br /> \\ 60480 & 2160 & 60 & 0 & -69 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Irgendwelche Fehler bis hierhin schon?

05.05.2009, 18:31

vektorraum

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Zitat:

Original von Null-in-Mathe
die matrix ist wie folgt aufgebaut:

$\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12^{3} & 12^{2} & 12 & 1 & {74}/{5} \\ 14^{3} & 14^{2} & 14 & 1 & {78}/{5} \\ 18^{3} & 18^{2} & 18 & 1 & 3 \\ 24^{3} & 24^{2} & 24 & 1 & {1}/{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also erst mal so, direkt die potenzen ausgerechnet und brüche beseitigt:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 8640 & 720 & 60 & 5 & 74 <br /> \\ 13720 & 980 & 70 & 5 & 78<br /> \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 <br /> \\ 69120 & 2880 & 120 & 5 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muss nicht im Eintrag der letzten Zeile und letzten Spalte eine 1 stehen? Du hast doch schon mit 5 durchmultipliziert...

05.05.2009, 18:34

Null-in-Mathe

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verwirrt

???

05.05.2009, 18:37

vektorraum

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Die zweite Matrix muss doch so aussehen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 8640 & 720 & 60 & 5 & 74 <br /> \\ 13720 & 980 & 70 & 5 & 78<br /> \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 <br /> \\ 69120 & 2880 & 120 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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05.05.2009, 18:47

Null-in-Mathe

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ja, stimmt, du hast recht, aber das ist net der einzige fehler, es müssen fehler da sein, die nicht auf der ergebnisseite sind.

ich zeige dir mal, wie es weiter geht, nach der rechnung:

ab dem letzten punkt:

1. Zeile: 2. Zeile hinzu addiert
2. zeile: mit (-1) multipliziert

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 480 & 960 & 60 & 0 & 117 <br /> \\ 30000 & 600 & 0 & 0 & -93 <br /> \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 <br /> \\ 60480 & 2160 & 60 & 0 & -69 <br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

dann von der 1.zeile die 4. subtrahiert und anschliessend ergebniszeile mit (-1) multipliziert

von der vierten zeile die erste subtrahiert

dann entstand folgendes:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 60000 & 1200 & 0 & 0 & -186 <br /> \\ 30000 & 600 & 0 & 0 & -93 <br /> \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 <br /> \\ 60000 & 1200 & 0 & 0 & 186 <br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

so, nun ist mein kleines abenteuer zu ende gegangen und ich kann einfach keinen sinn und keine lösung erkennen. komme ab diesem punkt auch nicht mehr weiter.

schaffe es ja net mal, die treppe bilden, also muss da entweder eine wissenslücke sein bei mir oder mindestens ein weiterer fehler bei den spalten, die die unbekannten beschreiben, sprich 1. - 4. spalte unglücklich

unglücklich

vielen dank für deine mühe an dieser stelle. wäre super, wenn dir noich was auffallen würde

05.05.2009, 18:55

mYthos

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Mit dem ich euch dienen kann, wäre die richtige Lösung, von DERIVE ausgerechnet, in Bruchform. Würde das helfen, oder ist diese ohnehin bekannt?

mY+

05.05.2009, 19:00

Null-in-Mathe

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ja, die lösung wäre schon mal viel wert =)

von DERIVE ausgerechnet ? verwirrt

verwirrt

05.05.2009, 19:15

vektorraum

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Zitat:

Original von Null-in-Mathe
ja, stimmt, du hast recht, aber das ist net der einzige fehler, es müssen fehler da sein, die nicht auf der ergebnisseite sind.

Ja gut, wenn aber schon die Ausgangsgleichungen einen kleinen, aber feinen Fehler haben, dann bruacht man sich das andere ja nicht ansehen.

Kontrollergebnisse:

$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{43}{600},~a_2=-3,745,~a_1=\frac{18409}{300},~a_0=-\frac{7653}{25} \end{eqnarray*}$

Edit: Fang doch mal systematisch an, Nullen zu erzeugen. Erweitere die erste Zeile mit -8 und addiere sie zur letzten. Da fällt gleich der erste Eintrag der letzten Zeile weg. Dann so weiter....

05.05.2009, 19:25

mYthos

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Man muss in DERIVE das Gleichungssystem eingeben und die Lösungen werden berechnet. Es ersetzt jetzt nicht deine Arbeit, aber mit dem Ergebnis kannst du deine Zwischenschritte kontrollieren.

[attach]10447[/attach]

a3 = 43/600; a2 = -749/200; a1 = 18409/300; a0 = -7653/25

Meine Meinung ist ohnehin diese, dass solche Rechenmonster NICHT manuell abzuführen sind, wozu gibt es schließlich CAS. Allerdings sollte einmal an Hand einfacherer Koordinaten das Umformen der Matrix in die Zeilenstufenform nachvollzogen bzw. geübt werden, damit man dann weiss, wo der Hammer hängt.

mY+

05.05.2009, 19:43

Null-in-Mathe

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sag das meinem verschi**enen dozenten, mythos unglücklich

unglücklich

ich danke euch für die liebe hilfe, sicherlich wird man noch von mir hören hier... unglücklich

unglücklich

LG euch

06.05.2009, 09:59

Null-in-Mathe

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egal was ich tue, ich habe immer wieder das selbe problem: ich bin irgendwann an einem punkt, wo sich die zeilen gegenseitig neutralisieren, was die gewünschte treppenform verhindert logischerweise.

bestres beispiel:

Synthax:
$\begin{eqnarray*} a_3 * x^{3} + a_2 * x^{2} + a_1 * x^{1} + a_0 = f(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 360 & 45 & \frac{35}{8} & \frac{591}{8} \\1370 & 980 & 70 & 5 & 78 \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 \\ 0 & 2880 & 360 & 35 & 591 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, würde die folgende Operation Zeile 1 und 4 auf 0 = 0 setzen, was zwar richtiog ist, mich aber net sehr weit bringt:

Erste Zeile mit (-8) multiplizieren und der Vierten hinzu addieren

Wie ist die o.g. MAtrix entstanden?

Also, ich habe, der Empfehlung entsprechend, NAch Eliminierung der Brüche sowie der Potenzen (wie oben im Thread, der eine Fehler korrigiert), folgendes gemacht:

Zeile I: Vierte Zeile durch 8 dividiert und von der ersten subtrahiert
Zeile IV: Erste Zeile mit 8 multipliziert und von der vierten Zeile subtrahiert. Im Anschluss eine Multiplikation der Vierten Zeile mit (-1) wegen des neg. Vorzeichens.
(alles in einem schritt)

Langsam glaube ich wirklich ich bin einfach nur zu LOL Hammer

LOL Hammer

Hammer

böse

traurig

geschockt

Bitte helft einem unswissenden weiter

06.05.2009, 10:25

vektorraum

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Wir machen mal bei obigem Beispiel weiter: Die Ausgangsmatrix lautet doch folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 8640 & 720 & 60 & 5 & 74 <br /> \\ 13720 & 980 & 70 & 5 & 78<br /> \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 <br /> \\ 69120 & 2880 & 120 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun erweitere ich die erste Zeile mit (-8) und addiere sie zur letzten:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 8640 & 720 & 60 & 5 & 74 <br /> \\ 13720 & 980 & 70 & 5 & 78<br /> \\ 5832 & 324 & 18 & 1 & 3 <br /> \\ 0 & -2880 & -360 & -35 & -591 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weiter gehts. Nun erweitere ich die erste Zeile mit (-27/40)=-0,675 und addiere sie zur dritten Zeile. Damit erhält man:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 8640 & 720 & 60 & 5 & 74 <br /> \\ 13720 & 980 & 70 & 5 & 78<br /> \\ 0 & -162 & -45/2 & -19/8 & -939/20 <br /> \\ 0 & -2880 & -360 & -35 & -591 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun erweitere ich die erste Zeile mit -343/216 und addiere zur zweiten Zeile.

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 8640 & 720 & 60 & 5 & 74 <br /> \\ 0 & -490/3 & -455/18 & -635/216 & -4267/108<br /> \\ 0 & -162 & -45/2 & -19/8 & -939/20 <br /> \\ 0 & -2880 & -360 & -35 & -591 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit hast du schon mal die erste Zeile abgearbeitet. Jetzt fängst du mit der zweiten Zeile an und überlegst dir, mit welcher Zahl du die erweiteren müsstest, damit in der vierten Zeile -2880 wegfällt. Dann wieder zurück zur dritten usw. Damit erzeugst du schrittweise Nullen.

Edit: Du kannst auch erstmal die Nenner in den einzelnen Zeilen etwas beseitigen.

06.05.2009, 12:47

Null-in-Mathe

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ok, hast gut erklärt. vielen, lieben dank Freude

Freude

versuchs jetzt nochmal

06.05.2009, 15:52

Null-in-Mathe

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ich habs geschafft =)

und verstanden.

vielen dank euch

Gott

Gott

06.05.2009, 17:09

vektorraum

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Das freut uns!!! Schön, dass du es verstanden hast.

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