Differentialgleichungen mit komplexen Zahlen

06.05.2009, 15:32

SilversunPickup

Differentialgleichungen mit komplexen Zahlen

Hallo Leute,
ich sitz hier absolut ratlos vor 4 Aufgaben und krieg nix auf die Reihe. Ich geb schnell mal die Aufgabenstellung und dann den Kommentar meinerseits.

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Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} y_2 (t) = te^{\lambda_1t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} {\lambda_1} = - \frac {b} {2a} \end{eqnarray*}$ eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $\begin{eqnarray*} ay^{''}(t) + by^{'}(t) + cy(t) = 0 <br /> a, b, c \in R \end{eqnarray*}$ ist.

Also DGL 2. Ordnung besitzen doch auch noch eine 2. Ableitung neben der ersten. Homogen ist die Funktion weil f(t) = 0. Bei der 1. Ordnung ist doch $\begin{eqnarray*} y(t)= e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \in C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gilt hier als Konstante oder nicht? Damit wäre dann $\begin{eqnarray*} y^{'}(t) = {\lambda} e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^{''} (t)= \lambda^2e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$
Ich hab allerdings keine Ahnung was ich wie wo machen muss ???

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Bestimmen sie die erste Ableitung der folgenden komplexwertigen Funktionen:
$\begin{eqnarray*} f: C -> C, f(z) = az + 7b, a,b \in Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: C -> C, g(z) = z^3 + 5i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h: C -> C, h(z) = e^{z^2} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht mal nen Ansatz werd aber gleich mal versuchen über Freunde Bücher was zu finden.

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Geben Sie alle reellwertigen Lösungen der folgenden homogenen Diffgleichung 2. Ordnung an:

$\begin{eqnarray*} y^{''} + 3y^{'} + 2y = 0 <br /> y^{''} - 3y = 0 \end{eqnarray*}$

Auch hier hab ich ehrlich gesagt nich den blassesten Schimmer
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Geben sie eine geoemetrische Interpretation des Produkts 2er komplexer Zahlen mittels Polarkoordination an.

Hier hab ich folgende Überlegung: Man nimmt die Gaußsche Zahlenebene mit Imaginärachse(y) und Reallteilachse(x), dabei gilt $\begin{eqnarray*} z = x + yi -> |z| = \sqrt {x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ nach Pythagoras.
Multipliziert man 2 Vektoren zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1x_2 - y_1y_2 + i(x_1y_2 + y_1x_2) \end{eqnarray*}$ dann sieht man das man die beiden Vektoren x und y multipliziert und die Winkel addiert werden, das ganze noch als Graph. Zeichnen.

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Ich bin für jede Hilfe dankbar, muss das unbedingt verstehen, simple Lösungen bringen mir nichts. Bin auch sehr sehr dankbar über hilfreiche Links und Buchtips.

Mit freundlichen Grüßen

06.05.2009, 18:00

SilversunPickup

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RE: Differentialgleichungen mit komplexen Zahlen
ups, das gehört in Hochschulmathematik, hab das verplant, kann das ein Admin verschieben?

Entschuldigung unglücklich

06.05.2009, 18:27

Bjoern1982

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Naja wobei ich auch einige kenne, die sowas auch schon in der Schule hatten.

Es wäre halt taktisch klüger gewesen, wenn du nicht EINEN Riesenthread mit ganz vielen Aufgaben gemacht hättest sondern mehrere Threads.
Ich mein hast du sonderlich Lust etwas zu lesen, wo du von zig Aufgaben direkt erschlagen wirst und du gar nicht weisst wo du anfangen sollst und das alles auch irgendwie unübersichtlich wirkt ?

Am Bequemsten und Leserfreundlichsten ist es halt wenn man eine konkrete Aufgabe postet und dann präzise Fragen dazu stellt - dann bekommst du auch in der Regel sehr schnell eine ANtwort (und eben nicht direkt seinen ganzen Übungszettel)

Gruß Björn

06.05.2009, 20:15

outSchool

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RE: Differentialgleichungen mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von SilversunPickup
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} y_2 (t) = te^{\lambda_1t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} {\lambda_1} = - \frac {b} {2a} \end{eqnarray*}$ eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $\begin{eqnarray*} ay^{''}(t) + by^{'}(t) + cy(t) = 0 \hspace{1 cm} a, b, c \in R \end{eqnarray*}$ ist.

Also DGL 2. Ordnung besitzen doch auch noch eine 2. Ableitung neben der ersten. Homogen ist die Funktion weil f(t) = 0. Bei der 1. Ordnung ist doch $\begin{eqnarray*} y(t)= e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \in C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gilt hier als Konstante oder nicht? Damit wäre dann $\begin{eqnarray*} y^{'}(t) = {\lambda} e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^{''} (t)= \lambda^2e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$
Ich hab allerdings keine Ahnung was ich wie wo machen muss ???

Bilde die Ableitungen y' und y'' mit Hilfe der Produktregel von

$\begin{eqnarray*} y_2 (t) = t\cdot e^{\lambda_1t} \end{eqnarray*}$

und nicht von

$\begin{eqnarray*} y_2 (t) = e^{\lambda_1t} \end{eqnarray*}$

dann y, y', y'' und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einsetzen in

$\begin{eqnarray*} ay^{''}(t) + by^{'}(t) + cy(t) = 0 \end{eqnarray*}$

und nachrechnen ob es richtig ist.

Zitat:

Original von SilversunPickup
Geben Sie alle reellwertigen Lösungen der folgenden homogenen Diffgleichung 2. Ordnung an:

$\begin{eqnarray*} y^{''} + 3y^{'} + 2y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{''} - 3y = 0 \end{eqnarray*}$

Auch hier hab ich ehrlich gesagt nich den blassesten Schimmer

Jetzt umgekehrt vorgehen. Aus

$\begin{eqnarray*} y (t) = e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$

die Ableitung für y' und y'' bilden, in die DGL einsetzen und die charakteristische Gleichung für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ lösen.

Zitat:

Original von SilversunPickup
Geben sie eine geoemetrische Interpretation des Produkts 2er komplexer Zahlen mittels Polarkoordination an.

Hier hab ich folgende Überlegung: Man nimmt die Gaußsche Zahlenebene mit Imaginärachse(y) und Reallteilachse(x), dabei gilt $\begin{eqnarray*} z = x + yi -> |z| = \sqrt {x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ nach Pythagoras.
Multipliziert man 2 Vektoren zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1x_2 - y_1y_2 + i(x_1y_2 + y_1x_2) \end{eqnarray*}$ dann sieht man das man die beiden Vektoren x und y multipliziert und die Winkel addiert werden, das ganze noch als Graph. Zeichnen.

Stimmt soweit, ein Beispiel in der komplexen Ebene wirst du doch hinbekommen.

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