Lineare Unabhängigkeit bei Abbildungen

06.05.2009, 16:01	WLO	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit bei Abbildungen Hallo, ich muss diese Aufgabe lösen: Sei X eine Menge und K ein Körper. Betrachte den K-Vektorraum M(X,K). Für jedes $\begin{eqnarray} y\in Y sei ey\in M(X,K) \end{eqnarray}$ die Abbildung X->K definiert durch $\begin{eqnarray} x\|-> (0, wenn x\neq y; 1, wenn x=y) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: a) Sind y1,y2,...,yn $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ X mit yi $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ yj für i $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ j, so ist das Tupel (ey1,ey2,...,eyn) $\begin{eqnarray} \in M(X,K)^{n} \end{eqnarray}$ linear unabhängig in M(X,K). b) Ist X={y1,y2,...,yn} mit yi $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ yj für i $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ j, so ist das Tupel (ey1,ey2,...,eyn) $\begin{eqnarray} \in M(X,K)^{n} \end{eqnarray}$ eine Basis von M(X,K). [/latex] Da hab ich mir überlegt, dass jede Abbildung eyi für x=i 1 ist, ansonsten 0, also ist jede Abbildung an einer anderen Stelle x 1, während alle anderen an dieser Stelle 0 sind. Also habe ich ein Gleichungssystem: x=1: $\begin{eqnarray} \lambda 1 \end{eqnarray}$ =0 x=2: $\begin{eqnarray} \lambda 2 \end{eqnarray}$ =0 . . . x=n: $\begin{eqnarray} \lambda n \end{eqnarray}$ =0 also sind sie linear unabhängig. Geht das so? Oder kann man das schöner machen? und zur b) wenn laut a) alle $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ =0 sind, hab ich doch schon gezeigt, dass das eine Basis ist, weil ich n linear unabhängige Elemente hab und n die Dimension des VR ist, oder?

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