Neutrales Element einer Verknüpfung

06.05.2009, 16:28

Duedi

Neutrales Element einer Verknüpfung

Sei $\begin{eqnarray*} x*y:=xy-x-y+2 \end{eqnarray*}$ Verknüpfung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann ist das neutrale Element:

$\begin{eqnarray*} e*e = e^2-e-e+2 = -e+2 \stackrel{!}=e \\ \Rightarrow e = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich herausgefunden, dass

$\begin{eqnarray*} x*1 = x - x - 1 + 2 = 1 \end{eqnarray*}$ , also ist 1 das inverse Element für alle reelle Zahlen x (kommt mir irgendwie komisch vor).

Soweit korrekt?

Jetzt sollen wir überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{>1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{> 3} \end{eqnarray*}$ zusammen mit der Verknüpfung Gruppen sind. Da aber das neutrale Element nicht in den Mengen liegt, sind beide keine Gruppen, oder?

06.05.2009, 16:42

Felix

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Ist die definierende Eigenschaft eines Einselements nicht : $\begin{eqnarray*} a \cdot e = a \end{eqnarray*}$ verwirrt

Dann wäre das Einselement nämlich nicht eindeutig bestimmt ...

06.05.2009, 16:44

Duedi

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Genau, das hat mich auch sehr perplex gemacht, also hab ichs mit diesem e^2-ansatz gemacht.

06.05.2009, 16:48

Felix

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Das Einselement ist von x abhängig würde ich sagen. Das inverse Element wäre dann so wie ich das sehe auch nicht eindeutig (wenn man sie überhaupt definieren mag)

Edit:

Im Prinzip ist das Einselement ja für jede reele Zahl eindeutig, allerdings hat jede Zahl ein anderes Einselement.

06.05.2009, 16:52

Duedi

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Hm dann muss die Aufgabe irgendwie falsch gestellt sein, wenn man dann noch zu den beiden R-Teilmengen entscheiden soll, ob sie mit der Verknüpfung eine Gruppe bilden - wenn die Verknüfpung nicht mal ein eindeutiges neutrales Element besitzt.

06.05.2009, 16:54

Felix

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Es ist nicht nur nicht eindeutig, sondern nicht existent, wie mir jetzt in den Sinn kommt, da nach Definition das gleiche Einselement für alle gelten müsste ...

06.05.2009, 17:04

Duedi

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ah ja, richtig. danke für deine hilfe smile

06.05.2009, 17:15

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Es soll

$\begin{eqnarray*} e*x = ex-e-x+2 \stackrel{!}{=} x \end{eqnarray*}$

für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten. Umgeformt ergibt das die Forderung

$\begin{eqnarray*} (e-2)(x-1) \stackrel{!}{=} 0 \end{eqnarray*}$ ,

die durch $\begin{eqnarray*} e=2 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Im übrigen gilt für $\begin{eqnarray*} g(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ die Isomorphiebeziehung

$\begin{eqnarray*} g(x*y) = g(x)\cdot g(y) \end{eqnarray*}$

zur reellen Multiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

06.05.2009, 17:30

Duedi

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wie gemein Big Laugh

. Danke, ich mach mal damit weiter.

P. S.: Dann ergibt sich natürlich auch, warum einmal $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{>1} \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{>3} \end{eqnarray*}$ überprüft werden soll.

06.05.2009, 17:43

Duedi

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Entschuldige den Doppelpost, aber ich habe noch eine Frage: Dieses neutrale Element war ja ziemlich "versteckt". Gibt es irgendwelche Regeln für Verknüpfungen, bei denen ich mir sicher sein kann, dass es ein Einselement gibt? (Also: gibt es immer bei linearen Verknüpfungen etc.) Oder ist es bei manchen schwer zu finden, bei manchen nicht existent? (Geht jetzt fast ein bißchen in die Metamathematik, aber interessiert mich Big Laugh

)

EDIT:

Sry, dass ich dich so mit Fragen überhäufe, aber ich glaube ich habe den unzulässigen Schritt gefunden, der mich daran gehindert hat, das korrekte neutrale Element zu berechnen:

Das war mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} e*x = ex-e-x+2 = x-e-x+2 = 2-e =x \end{eqnarray*}$

Was hier jetzt imho falsch ist, ist das zweite =-Zeichen, die fragliche Stelle: $\begin{eqnarray*} ex = x \end{eqnarray*}$

Ist das deswegen falsch, weil $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ nur das neutrale Element bezüglich "*" ist?

06.05.2009, 17:56

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Genau: Oben wurde $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ unbedacht miteinander verwechselt: Es gilt $\begin{eqnarray*} e*e=e \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} e^2 = e\cdot e \stackrel{?}{=} e \end{eqnarray*}$ .

06.05.2009, 17:56

Felix

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Zitat:

Na wenigstens hab ich was mitgelernt Augenzwinkern

Duedi`s Frage würde mich übrigens auch interessieren ...

Zu der letzten Frage: Ich würde sagen ja.

06.05.2009, 17:58

Duedi

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Fein, ich bin glücklich Big Laugh

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