Cayley-Transformation

06.05.2009, 17:42

Sabinee

Cayley-Transformation

Ist $\begin{eqnarray*} A\in H:=\{A\in \mathbb C^{n\times n}|\overline{A}^T=A\} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \phi(A):=(A-iE_n)(A+iE_n)^{-1} \end{eqnarray*}$
in $\begin{eqnarray*} S:=\{B\in \mathbb C^{n\times n}|\overline{B}^T=B^{-1}, B \ \text{hat nicht EW 1}\} \end{eqnarray*}$

So wie ich das richtig sehe macht die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ aus einer hermitischen Matrix eine unitäre Matrix und das soll ich zeigen.

Mein Vorschlag: Ich zeige, dass: $\begin{eqnarray*} ((A-iEn)(A+iE_n)^{-1})^{-1}=\overline{((A-iEn)(A+iE_n)^{-1}}^T \end{eqnarray*}$ gilt:

Es ist: $\begin{eqnarray*} ((A-iEn)(A+iE_n)^{-1})^{-1}=((A+iEn)(A-iE_n)^{-1} \end{eqnarray*}$

Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray*} \overline{((A-iEn)(A+iE_n)^{-1}}^T=((\overline{A}+iE_n)(\overline{A}-iE_n)^{-1})^T=((\overline{A}-iE_n)^{-1})^T(\overline{A}+iE_n)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(\overline{A^T}-iE_n)^{-1}(\overline{A^T}+iE_n) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \overline{A^T}=A \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} (\overline{A^T}-iE_n)^{-1}(\overline{A^T}+iE_n)=(A-iE_n)^{-1}(A^T+iE_n) \end{eqnarray*}$

Damit das stimmt müsste $\begin{eqnarray*} (A-iE_n)^{-1}(A^T+iE_n)=((A+iEn)(A-iE_n)^{-1} \end{eqnarray*}$ aber soweit ich weiß ist die Multiplikation bei Matrizen nicht kommutativ.

Was mache ich falsch?

06.05.2009, 18:48

Sabinee

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RE: Cayley-Transformation
Kann mir wenigstens jemand sagen ob mein Ansatz richtig ist?
Oder mache ich irgendwas komplett falsch?

06.05.2009, 18:55

Reksilat

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RE: Cayley-Transformation
Hi Sabinee!

Zitat:

Original von Sabinee
Damit das stimmt müsste $\begin{eqnarray*} (A-iE_n)^{-1}(A^T+iE_n)=((A+iEn)(A-iE_n)^{-1} \end{eqnarray*}$ aber soweit ich weiß ist die Multiplikation bei Matrizen nicht kommutativ.

Was mache ich falsch?

Du machst nichts falsch (nur das eine Transponiert-Zeichen muss noch weg). Dass die obige Gleichung stimmt, kannst Du Dir klarmachen, indem Du von links und von rechts jeweils $\begin{eqnarray*} (A-iE) \end{eqnarray*}$ dranmultiplizierst.

Gruß,
Reksilat.

06.05.2009, 19:06

Sabinee

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RE: Cayley-Transformation
Super, es stimmt wirklich smile

Jetzt muss ich noch zeigen, dass die Eigenwerte nicht 1 sind.
Hast du da ne Idee mit der du mir weiterhelfen kannst?

Meine Idee ist, dass die Abbildung die wir jetzt haben unitär ist und dafür gilt, dass die Eigenwerte Teilmenge der Einheitssphäre sind mit $\begin{eqnarray*} S^1:=\{t|t\in \mathbb C, |z|=1\} \end{eqnarray*}$

Liegt da vllt die Begründung?

06.05.2009, 19:19

Reksilat

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RE: Cayley-Transformation
Du nimmst natürlich zuerst an, dass es ein $\begin{eqnarray*} 0\neq x \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} \phi(A)x=x \end{eqnarray*}$ .

Analog zu oben ist das äquivalent zu:
$\begin{eqnarray*} (A+iE_n)^{-1}(A-iE_n)x=x \end{eqnarray*}$

Versuche das mal zum Widerspruch zu bringen.

Gruß,
Reksilat.

€: Sorry, habe Deinen Edit zu spät gesehen - kann mit der Idee aber auch nicht viel anfangen, da ja 1 in der Einheitssphäre liegt, wo soll da der Widerspruch folgen?

06.05.2009, 19:28

Sabinee

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RE: Cayley-Transformation
Ich habe die linke Seite versucht ein wenig umzuformen und komme auf:

$\begin{eqnarray*} -iA^{-1}(x)+\frac{1}{i}A(x)=x \end{eqnarray*}$

Das hilft mir aber nicht wesentlich weiter.

Ich kann das irgendwie nicht zum Widerspruch führen.

06.05.2009, 19:36

Reksilat

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RE: Cayley-Transformation
Es hat schon einen Sinn, weshalb das $\begin{eqnarray*} (...)^{-1} \end{eqnarray*}$ jetzt links steht und nicht in der Mitte. Von dort kann man es nämlich recht bequem auf die andere Seite bringen Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

06.05.2009, 19:50

Sabinee

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RE: Cayley-Transformation
Ich glaub ich bin zu blöd dafür.

Wenn ich das auf die rechte Seite rüber hole bekomm ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{i}A(x)=x+iA^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Ich bin blind und sehe den Widerspruch noch nicht.

06.05.2009, 19:55

Reksilat

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RE: Cayley-Transformation
Nö, ich meinte ja auch meine Gleichung. Zu Deiner hatte ich einen albernen Spruch geschrieben, der dann aber wieder wegeditiert wurde. War wohl dadurch nicht genau ersichtlich, was ich meinte.

Also schau Dir noch mal $\begin{eqnarray*} (A+iE_n)^{-1}(A-iE_n)x=x \end{eqnarray*}$ unter dem Aspekt an, was ich oben geschrieben habe.

Gruß,
Reksilat.

06.05.2009, 20:04

Sabinee

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RE: Cayley-Transformation
$\begin{eqnarray*} (A+iE_n)(A+iE_n)^{-1}(A-iE_n)x=(A+iE_n)x\Rightarrow (A-iE_n)x=(A+iE_n)x \Rightarrow -iE_n(x)=iE_n(x)\Rightarrow x=-1 \end{eqnarray*}$

Ist das der Widerspruch?

06.05.2009, 20:07

Reksilat

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RE: Cayley-Transformation
Wieso sollte $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ sein? $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist doch ein Vektor.

Also wenn Du $\begin{eqnarray*} iE(x)=-iE(x) \end{eqnarray*}$ hast, dann ist es echt nicht mehr weit. Mach lieber mal etwas Pause und schau dann später wieder drauf. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

06.05.2009, 20:13

Sabinee

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RE: Cayley-Transformation
Ein letztes Mal versuche ich es noch dann muss ich wohl wirklich ne Pause einlegen.

Wenn ich habe $\begin{eqnarray*} iE(x)=-iE(x) \Leftrightarrow 2iE(x)=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Widerspruch

Falls das richtig ist habe ich hier noch ne Teilaufgabe wo ich wieder nicht weiß was ich falsch mache.

Ich hab eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \psi(B):=i(B+E_n)(E_n-B)^{-1}\in H \end{eqnarray*}$ .

Die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ sind invers zueinander.

Ich hab direkt daran gedacht zu zeigen, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} (A-iE_n)(A+iE_n)i(B+E_n)(E_n-B)^{-1}=E_n \end{eqnarray*}$

Ist das der richtige Ansatz.

Ich werde mich mal dranmachen das zu zeigen. Eine Bestätigung würde mich freuen.

07.05.2009, 16:36

Reksilat

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RE: Cayley-Transformation
Sorry für die späte Antwort.

Zitat:

Original von Sabinee
$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ sind invers zueinander.
Ich hab direkt daran gedacht zu zeigen, dass folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} (A-iE_n)(A+iE_n)^{-1}i(B+E_n)(E_n-B)^{-1}=E_n \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig, denn damit würdest Du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi(B) \end{eqnarray*}$ zueinander invers sind - sind sie aber nicht. (Selbst dann wäre es nur sinnvoll $\begin{eqnarray*} \phi(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi(A) \end{eqnarray*}$ zu betrachten.)

Nein, hier geht es um die Verkettung von Abbildungen, d.h. es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ die Umkehrabbildung zu $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} \psi\circ \phi={\rm id.} \end{eqnarray*}$ oder anders: $\begin{eqnarray*} \phi(\psi(A))=A \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A\in H \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
Reksilat.

07.05.2009, 20:15

Sabinee

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RE: Cayley-Transformation
Dankeschön, habe es hinbekommen smile

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