zwei Normen nicht äquivalent

06.05.2009, 19:07

Trulla

zwei Normen nicht äquivalent

Hallo ihr Lieben,

ich soll zeigen das die euklidische Norm und die Supremumsnorm im C([a,b];R) nicht äquivalent sind.

$\begin{eqnarray*} ||x||_\infty = max |x_i| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||x||_2 =\sqrt{ \sum_{i=1}^n |x_i|^2} \end{eqnarray*}$

Dafür muss ich zeigen, dass es keine zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} 0<m<M \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} m||x||_\infty \leq ||x||_2 \leq M||x||_\infty \end{eqnarray*}$

Mein Anfangsgedanke: Ich suche mir eine Funktion, dessen Integral auf dem Intervall (ist ja beliebig) konvergiert, während das Maximum gegen unendlich geht. Ist das der richtige Weg und hat ijmnd einen Tipp, wie die Funktion aussehen müsste.

Vielen Dank im Vorraus.

06.05.2009, 19:18

Dual Space

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RE: zwei Normen nicht äquivalent
Das

Zitat:

Original von Trulla
$\begin{eqnarray*} ||x||_2 =\sqrt{ \sum_{i=1}^n |x_i|^2} \end{eqnarray*}$

ist keine Norm auf C(a,b), da der Ausdruck dort nicht mal definiert ist.

06.05.2009, 19:19

WebFritzi

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RE: zwei Normen nicht äquivalent

Zitat:

Original von Trulla
C([a,b];R) [...]

$\begin{eqnarray*} ||x||_\infty = max |x_i| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||x||_2 =\sqrt{ \sum_{i=1}^n |x_i|^2} \end{eqnarray*}$

Ich bezweifle, dass ihr die Normen auf dem obigen Raum so definiert habt. Gib bitte die richtigen Definitionen an. Danke.

06.05.2009, 19:28

Trulla

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Oje, das waren die Definitionen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$

Im C([a,b];R) haben wir es so definiert:

$\begin{eqnarray*} ||f|| = max \{ \mid f(x) \mid |x \in [a,b] \} | \end{eqnarray*}$

06.05.2009, 19:32

Trulla

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$\begin{eqnarray*} ||f||_\infty = max |f|_{[a; b]} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||f||_2 =\sqrt{ \int_{a}^{b} |f|^2} \end{eqnarray*}$

06.05.2009, 20:23

tmo

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Gib eine Folge in C[a,b] an, die bzgl. der euklidischen Norm gegen die Nullfunktion konvergiert, bzgl. der Supremumsnorm aber nicht.

06.05.2009, 20:25

WebFritzi

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Betrachte z.B.

a = 0, b = 1 und

$\begin{eqnarray*} f_n(x) := x^n. \end{eqnarray*}$

06.05.2009, 21:52

Trulla

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Okay, ich wähle $\begin{eqnarray*} f_{n}=x^n \end{eqnarray*}$

und [0;1]

Für $\begin{eqnarray*} ||f||_\infty = max |f|_{[a; b]} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} max |f|_{[0; 1]}=1^n=1 \end{eqnarray*}$

(weil $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ stetig und monoton steigend ist)

Und für $\begin{eqnarray*} ||f||_2 =\sqrt{ \int_{a}^{b} |f|^2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} ||x^n||_2=\sqrt{ \int_{0}^{1} |x^n|^2}=...=\sqrt{\frac{1}{(2n+1)}}<br /> <br /> \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{(2n+1)}}=0 \end{eqnarray*}$

Somit gilt nach Definition:
$\begin{eqnarray*} m\leq 0\leq M \end{eqnarray*}$ . Dies widerspricht aber der Definition von m und M: $\begin{eqnarray*} 0<m<M \end{eqnarray*}$

So müsste es richtig sein, oder? Vielen, vielen Dank für eure Hilfe. Nun kann ich beruhigt und vor zwei Uhr morgens ins Bett gehen :-)

07.05.2009, 00:41

WebFritzi

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Was sind m und M? Das solltest du an dieser Stelle sagen. Ich weiß es natürlich. Aber es gehört dazu, dass man seine Symbole erklärt. Das M hat hier keine Bedeutung. Wichtig ist, dass es kein m gibt. Ein M gibt es nämlich.

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