Beweis zu Relation bei aussagenlog. Formeln

06.05.2009, 23:26	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Relation bei aussagenlog. Formeln Hi! Ich nach längerer Zeit mal wieder. Und leider komme ich mit einem "Problem" zu euch. Hier die Aufgabe: Für aussagenlogische Formeln $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ schreiben wir $\begin{eqnarray} \varphi \leq \Psi \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \varphi \to \Psi \end{eqnarray}$ eine Tautologie ist. Weiter sei $\begin{eqnarray} \varphi < \Psi \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \varphi \leq \Psi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Psi \not \leq \varphi \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die so definierte Relation dicht ist, d.h. zu je zwei Formeln $\begin{eqnarray} \varphi < \Psi \end{eqnarray}$ existiert eine Formel $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi < \theta < \Psi \end{eqnarray}$ . Hmm...also: Seien $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ zwei aussagenlogische Formeln mit $\begin{eqnarray} \varphi < \Psi \Leftrightarrow \varphi \to \Psi \mbox{ ist Tautologie, } \Psi \to \varphi \mbox{ ist keine Tautologie} \end{eqnarray}$ Das heißt, ich muss $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ so wählen, dass: $\begin{eqnarray} \varphi \to \theta \end{eqnarray}$ Tautologie $\begin{eqnarray} \theta \to \varphi \end{eqnarray}$ k. Taut. $\begin{eqnarray} \theta \to \Psi \end{eqnarray}$ Taut. $\begin{eqnarray} \Psi \to \theta \end{eqnarray}$ k. Taut. ist. Ich nehme an, ich muss Theta dazu irgendwie aus Phi und Psi konstruieren und eventuell noch was dazu nehmen. Aber ich krieg das partout nicht hin! Ein paar Tipps? edit: Mit \theta = $\begin{eqnarray} \Psi \wedge ( \varphi \vee Y) \end{eqnarray}$ mit Y ist aussagenlog. Variable sollte es gehn

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