Jordannormalform/Transformationsmatrix

06.05.2009, 23:38

xmarkusx

Jordannormalform/Transformationsmatrix

Hallo!

Ich habe einige mehr oder weniger konkrete Fragen zur Jordannormalform.

Zunächst zur Vorgehensweise, wenn die Jordansche Normalform für eine Matrix berechnen will:

-Zuerst das charakteristische Polynom bestimmen
-Daraus erhält man die Eigenwerte
-Mit diesen Eigenwerten berechnet man die Eigenräume; bei einem EW=2 wäre das dann $\begin{eqnarray*} A-3*E \end{eqnarray*}$ (A=die Matrix, E=Einheitsmatrix)...auf Zeilenstufenform bringen und den Kern berechnen.

Und anhand der Dimension des Kerns eines bestimmten Eigenwertes sollte man dann sehen, wieviele Kästchen es zu diesem bestimmten Eigenwert gibt.

Ist das soweit richtig?

Und wie geht man vor, um dann die Transformationsmatrix zu berechnen?

Und noch eine Frage bzgl. des char. Polynoms:

Wenn man z.B. eine 4x4 Matrix hat, muss das char. Polynom dann mit $\begin{eqnarray*} (...)^4 \end{eqnarray*}$ beginnen bzw. kann man anhand dieser Information schon etwas über das char. Polynom sagen?

Oder ist es auch möglich, dass das char. Polynom einer 4x4 Matrix z.B. so aussieht:

$\begin{eqnarray*} (2-t)^2*(3-t) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

06.05.2009, 23:43

tigerbine

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RE: Jordannormalform/Transformationsmatrix
Vielleicht was hilfreiches zum Thema : [Artikel] Jordansche Normalform

tigerbine out.

07.05.2009, 16:24

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von xmarkusx
Mit diesen Eigenwerten berechnet man die Eigenräume; bei einem EW=2 wäre das dann $\begin{eqnarray*} A-3*E \end{eqnarray*}$ (A=die Matrix, E=Einheitsmatrix)...auf Zeilenstufenform bringen und den Kern berechnen.

Nein, das stimmt nicht. Du müsstest die den Kern der Abbildung mit der Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} A-2E \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Zitat:

Original von xmarkusx
Und anhand der Dimension des Kerns eines bestimmten Eigenwertes sollte man dann sehen, wieviele Kästchen es zu diesem bestimmten Eigenwert gibt.

Das stimmt nur für diagonalisierbare Matrizen, d.h. für solche, die keine höheren Eigenvektoren besitzen. Das sind solche. bei denen in der Jordansche Normalform keine Einsen auf der Nebendiagonalen stehen, für die also die Jordansche Normalform eine Diagonalmatrix ist.

Bei nicht diagonalisierbaren Matrizen musst du auch noch höhere Eigenräume berechnen. Wie das geht, sollte dir aber bekannt sein.

Zitat:

Original von xmarkusx
Und wie geht man vor, um dann die Transformationsmatrix zu berechnen?

Man bestimmt die Eigenvektoren und die höheren Eigenvektoren (Hauptvektoren) und schreibt diese in entsprechender Reihenfolge als Spalten in eine Matrix, die dann die Transformationsmatrix ist.

Zitat:

Original von xmarkusx
Wenn man z.B. eine 4x4 Matrix hat, muss das char. Polynom dann mit $\begin{eqnarray*} (...)^4 \end{eqnarray*}$ beginnen bzw. kann man anhand dieser Information schon etwas über das char. Polynom sagen?

Oder ist es auch möglich, dass das char. Polynom einer 4x4 Matrix z.B. so aussieht:

$\begin{eqnarray*} (2-t)^2*(3-t) \end{eqnarray*}$

Nein, das ist nicht möglich. Für eine $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix ist das charakteristische Polynom immer ein Polynom mit dem Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

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