Ausdruck mit Computeralgebrasystem vereinfachen

07.05.2009, 10:03

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Ausdruck mit Computeralgebrasystem vereinfachen

$\begin{eqnarray*} \sum_{r=1}^{n-1}r^{n-1}(-1)^{n-1+r}\binom{n-1}{r}\frac{n\cdot(n-r)+r}{(n-r)^2} \end{eqnarray*}$
Ich versuche diesen Ausdruck zu vereinfachen, komme von Hand aber nicht weiter. Kann jemand der sich mit Computeralgebrasystemen auskennt versuchen sie damit zu verarbeiten. Anwenden möchte ich den Ausdruck auf n in der Größenordnung von 100 bis einigen Tausend, wofür die aktuelle Fassung (sehr rechenintensiv; die Beträge der einzelnen Summanden übersteigen das Ergebnis weit) nicht sehr geeignet ist.

07.05.2009, 10:37

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Versuch's doch mal von Hand: Die CAS suchen manchmal ein wenig orientierungslos nach Vereinfachungen. Spontan sehe ich Ansatzpunkte bei

$\begin{eqnarray*} n\binom{n-1}{r} = (n-r)\binom{n}{r} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r\binom{n-1}{r} = (n-r)\binom{n}{r-1} \end{eqnarray*}$ ,

was zu

$\begin{eqnarray*} \sum_{r=1}^{n-1}r^{n-1}(-1)^{n-1+r}\left( \binom{n}{r} + \binom{n-1}{r-1}\frac{1}{n-r} \right) \end{eqnarray*}$

führt. Vielleicht hilft das schon mal weiter?

EDIT: Das Ende der Geschichte wieder im Originalthread.

09.05.2009, 19:19

Raumpfleger

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RE: Ausdruck mit Computeralgebrasystem vereinfachen
So eingetippt bringt Mathematica 7.0.1 keine Vereinfacherung heraus.
Um es sich logarithmisch anzuschauen definiert man

In[8]:= Remove[f]
f[n_] := Sum[
r^(n - 1) (-1)^(n - 1 + r) Binomial[n - 1,
r] (n (n - r) + r)/(n - r)^2, {r, 1, n - 1}] /; n > 1

und fertigt zwei Bildchen

ListLogPlot[Table[N[f[

ListLogPlot[Table[N[f[x]], {x, 2, 2000, 10}], PlotRange -> All]x]], {x, 2, 100}], PlotRange -> All]

im zweiten Bildchen ist die Schrittweite 10, deshalb schreibt Mma. beim Argument 2000 die Zahl 200, weil das das zweihundertste entry dieser Liste ist.

Wie man sieht, wächst der Exponent gegenüber dem Argument nichtlinear. Diese Abhängigkeit könnte man im Grenzwert allenfalls feststellen.

09.05.2009, 19:30

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Anscheinend ist dir entgangen, dass ich die Sache im anderen Thread (siehe Link) aufgelöst habe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{r=1}^{n-1}r^{n-1}(-1)^{n-1+r}\binom{n-1}{r}\frac{n\cdot(n-r)+r}{(n-r)^2} = n^{n-1}\cdot \sum_{j=1}^n \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ läuft das asymptotisch auf $\begin{eqnarray*} n^{n-1}\ln(n) \end{eqnarray*}$ hinaus.

09.05.2009, 19:45

Raumpfleger

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Anscheinend ist dir entgangen,

Du sagst es, besten Dank für den Hinweis.

Zitat:

Für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ läuft das asymptotisch auf $\begin{eqnarray*} n^{n-1}\ln(n) \end{eqnarray*}$ hinaus.

Gut.

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