Grenzwertbestimmung

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07.05.2009, 10:28	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbestimmung Hallo Ich habe ein Problem: Ich will den Grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} x(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) )^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ . Ich kenn die Regel von l'hospital und den Mittelwetsatz. Ich weiß jedoch nicht wie ich das hier anwenden kann. Kann mir jemand helfen?
07.05.2009, 11:04	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Etwas umgeschrieben: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} x \left(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) \right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} x \cdot exp \left(\frac 1 x \ln\left(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) \right)\right) \end{eqnarray}$ Wenn beide Grenzwerte existieren(das zeigst du quasi im Nachhinein), darf man das Produkt in die Faktoren aufsplitten: $\begin{eqnarray} =\lim_{x \to 0} x \cdot \lim_{x \to 0} exp \left(\frac {\ln\left(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) \right)}{x}\right) \end{eqnarray}$ Und jetzt sollte es kein Problem mehr sein, oder?
08.05.2009, 23:07	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Hallo ich seh gerade ich habe mich bei der Aufgabenstellung vertippt. Tut mir leid. so wäre der Grenzwert ja 0 oder? die aufgabe heißt aber richtig: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} (1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) )^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ . Was kann ich denn da machen? bin für jede Hilfe dankbar.
08.05.2009, 23:32	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte doch den rechten Limes in dem letzten Term von eierkopf1.
08.05.2009, 23:48	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Du kannst umschreiben in: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} exp \left(\frac {\ln\left(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) \right)}{x}\right) \end{eqnarray}$ jetzt bestimmst du den Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac {\ln\left(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) \right)}{x} \end{eqnarray}$ nach der Regel von L'Hôpital, d.h. wenn bei einem Bruch Zähler(=f(x)) und Nenner(=g(x)) gegen 0 laufen gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac {f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 0} \frac {f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray}$ in diesem Fall musst du die Regel evtl. mehrmals anwenden.
09.05.2009, 00:17	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung Aber wenn ich x (also den Nenner) 2mal ableite bekomme ich doch auch 0 heraus oder? und die 2. Ableitung des Zählers ist: $\begin{eqnarray} \frac{-x}{(1-x)^{\frac{3}{2}}( \pi+arc\sin(x))} \end{eqnarray}$ stimmt das soweit?
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09.05.2009, 00:40	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass dich nicht durcheinander bringen, einmal 'Hôpital anwenden genügt. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac {\ln\left(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) \right)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x))(\pi\sqrt{1-x^2)}}}{1} \end{eqnarray}$ Nun betrachte den Grenzübergang. Gruß
09.05.2009, 10:49	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
ist der Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray}$ ?
09.05.2009, 12:24	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, für den gesondert betrachteten Ausdruck $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac {\ln\left(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) \right)}{x} \end{eqnarray}$ Natürlich musst du diesen noch hiermit in Verbindung bringen $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} exp \left(\frac {\ln\left(1+\frac{1}{\pi} arc \sin(x) \right)}{x}\right) \end{eqnarray}$ aber das ist einfach, da du den errechneten Grenzwert des ersten Ausdrucks nur in den zweiten Ausdruck einsetzen brauchst. Gruß
09.05.2009, 13:03	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe. Das heißt mein Grenzwert für den gesamten Ausdruck wäre dann $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{\pi}} \end{eqnarray}$ ?
09.05.2009, 13:12	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
09.05.2009, 13:14	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke....

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