Stetigkeit einer Funktion im R^2

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eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Funktion im R^2
Hallo!

Ich habe mich mit Funktionen und deren Stetigkeit im beschäftigt.

zB Untersuche ich die Funktion: für und im Nullpunkt auf Stetigkeit.

Ich kann mir 2 Nullfolgen konstruieren, sodass man sieht, dass die Funktion im Nullpunkt nicht stetig ist.

zB
aber

Oder allgemeiner:




Mir ist auch klar, was man da macht:
Man kann sich ja von unendlich vielen Richtungen zum Nullpunkt bewegen. Und man sucht sich eine Weg, bei dem eine Unstetigkeitsstelle auftritt.

Nun zum eigentlichen Problem:
Die Funktion für und soll wieder auf Stetigkeit im Nullpunkt untersucht werden.

Bis jetzt habe ich noch keine Nullfolge gefunden, bei der man sieht, dass sie nicht stetig ist.

Auch allgemein betrachtet:



Ich habe diese Funktion mit Mathematica gezeichnet und sehe keine Unstetigkeitsstelle. Deswegen denke ich mir, dass die Funktion stetig ist.

Im eindimensionalen Fall war das klar: Man betrachtet die Grenzwerte von links und rechts und den Funktionswert an dieser Stelle.

Nur im zweidimensionalen Fall gibt es unendlich viele Richtungen.

Wie zeige ich hier die Stetigkeit bzw. Unstetigkeit?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst zeigen, dass die Definition erfüllt ist.

D.h. zu jedem existiert ein , sodass gilt:

eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider komme ich mit der Definition überhaupt nicht weiter:





Wie schätze ich weiter ab?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kannst du denn den Bruch abschätzen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Man musste im Reellen nicht unbedingt links- und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen. Man konnte sich auch gleich den beidseitigen Grenzwert angucken, d.h. man konnte gucken, ob für jede Folge, die gegen den Punkt konvergiert, die Folge der Funktionswerte gegen den Funktionswert an dem Punkt konvergiert.

Du kannst also auch die Folgencharakterisierung nehmen. Stetigkeit hast du widerlegt, in dem du eine Folge gefunden hast, die gegen Null konvergiert, deren Funktionswertefolge aber nicht gegen Null konvergiert.

Um Stetigkeit zu zeigen, musst du also zeigen, dass für alle Folgen , die gegen Null konvergieren, auch gegen konvergiert. Da und dabei gleichzeitig variiert werden, sind dadurch "alle möglichen Richtungen" abgedeckt.

Die Vorstellung mit den unendlich vielen Richtungen ist übrigens mMn nicht sehr hilfreich, sie verwirrt vielleicht sogar eher.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

@Tmo:

Manchmal sieht man einfach nichts Hammer

Wähle



Sollte so stimmen, oder?


@MSS:
Ich verstehe nicht genau, was du meinst. Wie kann ich Stetigkeit bei diesem Beispiel nur mit Folgen zeigen?
Es gibt ja unendlich viele Nullfolgen. Und dann kann man auch noch diese Nullfolgen für x und y kombinieren.

zB


usw.

Wie kann ich das für alle zeigen?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja du zeigst es einfach für eine beliebige Folge , die gegen Null konvergiert, d.h. und , dann hast du es doch für alle Folgen gezeigt.

Deine Abschätzung ist so etwas heikel. Guck mal, was für bei dir passiert. Anstatt den Nenner nach unten abzuschätzen, solltest du also lieber den Zähler nach oben abschätzen.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Dann sieht es so aus:

Wähle




@Folgen:

Irgendwie verstehe ich es immer noch nicht, wie ich das für jede Folge zeige.
Ich versuche es mal, wie ich das verstanden habe:

Sei eine Nullfolge.



Aber wie zeige ich diesen Grenzwert?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Abschätzung ist in dem Fall die Gleiche:



und letzteres geht gegen Null, also auch ersteres.

Manchmal sind Folgen einfacher zu handhaben, deswegen habe ich das angesprochen.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr! Das werde ich sicher mal brauchen!

Jetzt gibt es ja noch die Möglichkeit der Transformation in Polarkoordinaten:


Der Länge des Vektors ist . Der Punkt , an dem ich die Funktion auf Stetigkeit überprüfen will, hat die Länge 0.




Angenommen ich will die Funktion im Punkt auf Stetigkeit überprüfen:
Dieser Vektor hat die Länge .



Es gibt natürlich Winkel , bei denen dann nicht das Ergebnis des Grenzwertes und damit unstetig ist. Was habe ich da falsch verstanden?

mfg
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Polarkoordinaten bezüglich des Ursprungs helfen nur bei Stetigkeitsuntersuchungen im Ursprung. Hast du einen anderen Punkte , so brauchst du andere Polarkoordinaten, dann musst du nämlich darstellen als

.

Damit sollte es auch funktionieren, allerdings könnte die Rechnung unschön werden. Die Stetigkeit in allen anderen Punkten lässt sich einfacher mit der Verkettung stetiger Funktionen begründen.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Das mit der Stetigkeit von zusammengesetzten Funktionen weiß ich. Ich wollte nur eine weitere Möglichkeit, die Stetigkeit zu zeigen. Augenzwinkern

Nochmals zurück zur Stetigkeit im Punkt :







Damit ist die Stetigkeit gezeigt.

Stimmt das?

Noch eine Frage zu der Polarkoordinaten-Transformation: Wie kann ich diese geometrisch interpretieren (Ich weiß, dass Polarkoordinaten Kreisbewegungen darstellt)?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt.

Zitat:
Original von eierkopf1
Noch eine Frage zu der Polarkoordinaten-Transformation: Wie kann ich diese geometrisch interpretieren (Ich weiß, dass Polarkoordinaten Kreisbewegungen darstellt)?

Was willst du geometrische interpretieren? verwirrt
mekkim Auf diesen Beitrag antworten »

g(x,y) ist nicht stetig!

Wenn du in Polarkoordinaten übergehst ermöglicht dir das, den Grenzwert in alle linearen Richtungen gegen den Ursprung bezüglich der Winkelabhängigkeit zu vergleichen und wenn der Grenzwert vom Winkel abhängig ist, weisst du dass die Funktion unstetig ist.

Aber es gibt noch viel mehr Möglichkeiten, sich dem Punkt (0,0) zu nähern, z.B. entlang der Kurve y=x^2 oder y=x^3 und entlang diesen ist der Grenzwert gegen (0,0) gleich 1/2 resp. unendlich.

Das heisst du kannst eine Folge konstruieren wobei die Folgenglieder entlang einer dieser Kurven liegen und die Funktionswerte werden sich einem Wert ungleich null nähern.

Dieses Beispiel wird in Lehrbüchern oft falsch behandelt und nur als Beispiel für den Polarkoordinatentrick präsentiert. Aber der funktioniert eben nur für lineare Wege.

Mal sehen ob sich nach 8 Jahren noch jemand meldet smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

ist stetig, weil man die Konvergenz für gleichmäßig im Winkel hat. Daher hoffe ich du bist ein Troll verwirrt
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