Extremwertaufgabe Rechteck/Parallelogramm

07.05.2009, 12:15

Alex08

Extremwertaufgabe Rechteck/Parallelogramm

Hallo, ich hoffe ihr könnt mir helfen, es geht um eine Extremwertaufgabe, bei der ich einfach nicht weiter komme.

Es ist ein Rechteck gegeben ABCD, bei dem die breite Seite 8cm lang ist und die Lange Seite 12cm. In ihm verläuft eine Linie, die in der Mitte von DC anfängt und bei A endet. Man muss den Punkt P(siehe Link) ausrechnen, um ein Parallelogramm zu erhalten mit dem größtmöglichen Flächeninhalt, bei dem die beiden Seiten Parallel zur Linie AM sein sollen.

Edit (mY+): Link zu Imageshack entfernt. Werbung und lange Ladezeit sind NICHT erwünscht. Lade statt dessen dein Bird direkt ins Board hoch.

07.05.2009, 12:27

Rare676

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Ich denke, dass man die Seiten des entstehenden Parallelogramms mit dem Pythagoras bestimmen kann.

Sei x der Abstand von P zu B und y der kleine Abschnitt auf AB, a die im Bild kürze Seite des Parallelogramms und b die längere; dann ist:

$\begin{eqnarray*} A_P=a \cdot b \end{eqnarray*}$ ,wobei

$\begin{eqnarray*} a=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=(8-y)^2+(12-x)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht, ob du extremwertaufgaben mit 2 Variablen machst oder nur mit einer.
Für den 2. Fall bräuchten wir nun noch eine Nebenbedingung Augenzwinkern

Edit: Die Nebenbedingung sollte mit dem Strahlensatz funktionieren, wenn ich mich nicht täusche.

Denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{y}=\frac{12}{x} \end{eqnarray*}$

Dies erkennt man, wenn man den Strahlensatz oben links in der Ecke anwendet Augenzwinkern

07.05.2009, 12:30

Gualtiero

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RE: Extremwertaufgabe Rechteck/Parallelogramm
@Alex08
Man soll hier Bilder direkt im Beitrag speichern und keine Links zu externen Bildspeichern reinstellen.

[attach]10459[/attach]

Ich muss mir noch etwas zum Rechenweg überlegen und schaue nochmal vorbei.
(Vielleicht ist auch wer anderes schneller da). EDIT: Na bitte, schon geschehen.

07.05.2009, 12:56

outSchool

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y kann man mit geometrischen Hilfsmitteln eliminieren, die Seiten des Parallelogramms müssen ja parallel zur Linie AM sein.

07.05.2009, 13:05

Rare676

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Zitat:

Original von outSchool
y kann man mit geometrischen Hilfsmitteln eliminieren, die Seiten des Parallelogramms müssen ja parallel zur Linie AM sein.

Ja, das war die Hilfe, die ihm gefehlt hat... verwirrt

07.05.2009, 15:48

Gualtiero

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Zitat:

Original von Rare676
$\begin{eqnarray*} a=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=(8-y)^2+(12-x)^2 \end{eqnarray*}$

@rare676
Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ , womit Du für a und b jeweils einen Wurzelausdruck erhältst.

Um das zu vermeiden, habe ich den Ansatz verfolgt, die gesuchte Fläche aus der Differenz von Rechteckfläche und der Fläche von 4 Dreiecken zu bestimmen.
Aus dem Strahlensatz hast Du ja schon abgeleitet, dass zwischen x und y gilt:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{3} \cdot x \end{eqnarray*}$
Die Katheten der beiden kleinen rechtwinkligen Dreiecke (bei B u. D) sind dann x und x/3.
Die Katheten der beiden großen Dreiecke (A u. C) sind (8 - x/3) und (12 - x).

Die Fläche dieser 4 Dreiecke ist: $\begin{eqnarray*} x \cdot \frac{1}{3} \cdot x + (8 - x/3) \cdot (12 - x) \end{eqnarray*}$ und man braucht sie nur von der Fläche des Rechtecks abzuziehen, um die Fläche des Parallelogramms zu erhalten.

$\begin{eqnarray*} F_P = F(x) = 8 \cdot 12-\frac{1}{3} \cdot x^2-(8 - \frac{1}{3} \cdot x) \cdot (12 - x) \end{eqnarray*}$

Jetzt vereinfachen, daraus die Ableitung bilden, Extremwert bestimmen, fertig.

07.05.2009, 16:27

Rare676

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@Gualtiero. Ja, ich meinte natürlich den Pythagoras, wie ich es auch geschrieben habe - hatte nur das "^2" vergessen Augenzwinkern

Danke dafür erstmal.

Weiterhin finde ich deine Lösung sehr elegant Augenzwinkern

13.05.2009, 18:06

Alex08

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Zur Zeit haben wir Extremwertaufgaben mit nur einer Variablen.
Ich habe mich mal an der Aufgabe von Gualtiero versucht, komme jedoch nicht wirklich auf ein Ergebnis. Ich vereinfache, mache die erste Ableitung, aber das Ergebnis ist Falsch, ich weiß wirklich nicht wieso?!

13.05.2009, 18:22

Rare676

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Und wir sollen das jetzt erraten? verwirrt

13.05.2009, 18:29

Alex08

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Nun, Rare676, wenn ich zb. deine Gleichungen angucke wüsste ich nicht, wie ich sie verbinden soll, um auf die Zielfunktion zu kommen.

13.05.2009, 18:40

Rare676

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Um einfach zum Ziel zu kommen solltest du auch dem Vorschlag von Gualtiero nachgehen. Mir kommt es gerade so, als wenn du unsere Postings gar nicht richtig liest...

21.02.2010, 19:47

Stroili

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Zitat:
Original von Rare676
$\begin{eqnarray*} a=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=(8-y)^2+(12-x)^2 \end{eqnarray*}$

aber man berechnet doch den Flächeninhalt eines Parallelogramms gar nicht mit a mal b, oder? es heißt doch $\begin{eqnarray*} A=a*h \end{eqnarray*}$ ...

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